The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n)

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[1]The Plimpton 322 Collection (3) から１０進数の一覧を整理すると、

No.	a/or/b	b/or/a	c	memos
1	120	119	169	gcd=1
2	3456	3367	4825	gcd=1
3	4800	4601	6649	gcd=1
4	13500	12709	18541	gcd=1
5	72	65	97	gcd=1
6	360	319	481	gcd=1
7	2700	2291	3541	gcd=1
8	960	799	1249	gcd=1
9	600	481	769	gcd=1
10	6480	4961	8161	gcd=1
11	60	45	75	gcd=15
11	3600	2700	4500	gcd=900
11	4	3	5	gcd=1
12	2400	1679	2929	gcd=1
13	240	161	289	gcd=1
14	2700	1771	3229	gcd=1
15	90	56	106	gcd=2
15	45	28	53	gcd=1

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[2]ピタゴラスの三つ組を大量生産する方法として、以下が知られている。
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偶奇性が異なり、互いに素な２つの整数（但し、m > n > 0)から、
(a, b, c) = (m^2 - n^2,  2mn,  m^2+n^2)
という既約なピタゴラスの三角形ができる。
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参考）「三角形の七不思議」、細谷治夫、講談社、(2013) /p.66
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[3][1]の(a, b, c)から、[2]の(m,n)を求めるには、
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 m = sqrt((c + a) / 2),   n = sqrt((c - a) / 2).
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No.4の計算例あり。
m = sqrt((18541 + 12709)/2) = 125,  n = sqrt((18541 - 12709)/2) = 54.
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参考）「ピラゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011) /p.70-71
同上、p.157/表9-1 プリンプトン322の粘土板にあるpPTの３辺と角度で、(m, n)値検証。 =>No.15は、同一覧から除外されている？！
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[4][1]の１５件に対して、(m, n)を求めると、
a < b < c とすると、

No.	a/or/b (1)	b/or/a (2)	c (3)	gcd	m (3.vs.2)	n (3.vs.2)	memos 2	m (3.vs.1)	n (3.vs.1)	memos 3
1	120	119	169	1	12	5		sqrt(289/2)	sqrt(49/2)
2	3456	3367	4825	1	64	27		sqrt(8281/2)	sqrt(1369/2)
3	4800	4601	6649	1	75	32		sqrt(11449/2)	sqrt(1849/2)
4	13500	12709	18541	1	125	54		sqrt(32041/2)	sqrt(5041/2)
5	72	65	97	1	9	4		sqrt(169/2)	sqrt(25/2)
6	360	319	481	1	20	9		sqrt(841/2)	sqrt(121/2)
7	2700	2291	3541	1	54	25		sqrt(6241/2)	sqrt(841/2)
8	960	799	1249	1	32	15		sqrt(2209/2)	sqrt(289/2)
9	600	481	769	1	25	12		sqrt(1369/2)	sqrt(169/2)
10	6480	4961	8161	1	81	40		sqrt(14641/2)	sqrt(1681/2)
11	60	45	75	15	sqrt(60) or 1/15->2	sqrt(15) or 1/15->1		sqrt(135/2)	sqrt(15/2)
11	3600	2700	4500	900	60 ,1/30->2 or 1/900->2	30 ,1/30->1 or 1/900->1		45*sqrt(2)	15*sqrt(2)
11	4	3	5	1	2	1		sqrt(9/2)	sqrt(1/2)
12	2400	1679	2929	1	48	25		sqrt(5329/2)	sqrt(529/2)
13	240	161	289	1	15	8		sqrt(529/2)	sqrt(49/2)
14	2700	1771	3229	1	50	27		sqrt(5929/2)	sqrt(529/2)
15	90	56	106	2	9	5		sqrt(98)	sqrt(8)
15	45	28	53	1	sqrt(81/2)	sqrt(25/2)		7	2

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重複する No.11(gcd=1, 15, 900)と No.15(gcd=1, 2)をどうするか？、、、
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gcd=1にこだわらないと言うか、(a,b,c)から逆算して、(m,n)を求めているが、元は(m,n)からスタートして、(a,b,c)を生成する流れと思われるので、素直に/or/統一性を求めるなら、(3.vs.2)の(m,n)を使用したい。
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又、No.11に関しては、元ネタ=1で、これは、当時の６０進数表記から、(1, 60, 3600,...)のいずれかなのかの区別がつかない。
例）

10進数	60進数
1	1
60	1,0
3600	1,0,0

参考）「バビロニアの数学」、室井和男、東京大学出版、(2000).
p.18) 古バビロニア時代には零の記号はなく空位は数字の間隔を空けて示した。また、小数点を示す記号もなかったので、数字の読み取りは何よりも前後の文脈に頼らなければならなかった。
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selected	a/or/b 60進数	b/or/a 60進数	c 60進数	３組 10進数
X	1	45	1,15	(1, 45, 75)
X	1,0	45	1,15	(60, 45, 75)
O	1,0,0	45,0	1,15,0	(3600, 2700, 4500)

オリジナル的には、上表の３番目であると思うが、gcd=900から、gcd=1とした(4, 3, 5)の(m,n)=(2,1)を採用する。
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参考）「ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010),
p.62 - p.63 : No.11 = (3600, 2700, 4500)とみなす。
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No.15で、(a,b)を入れ替えると、gcd=1でも、(m,n)が計算できるが、(m,n)(3.vs.2)の流れを崩すため、gcd=2を採用する。
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最終的な(a,b,c)は、以下。

No.	b	a	c	gcd	m	n	memos
1	120	119	169	1	12	5
2	3456	3367	4825	1	64	27
3	4800	4601	6649	1	75	32
4	13500	12709	18541	1	125	54
5	72	65	97	1	9	4
6	360	319	481	1	20	9
7	2700	2291	3541	1	54	25
8	960	799	1249	1	32	15
9	600	481	769	1	25	12
10	6480	4961	8161	1	81	40
11	4	3	5	1	2	1
12	2400	1679	2929	1	48	25
13	240	161	289	1	15	8
14	2700	1771	3229	1	50	27
15	90	56	106	2	9	5

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(m,n), m > n でソートすると、

No.	b	a	c	gcd	n	m (>n)	round( m/n;3)
11	4	3	5	1	1	2	2.000
5	72	65	97	1	4	9	2.250
15	90	56	106	2	5	9	1.800
1	120	119	169	1	5	12	2.400
13	240	161	289	1	8	15	1.875
6	360	319	481	1	9	20	2.222
9	600	481	769	1	12	25	2.083
8	960	799	1249	1	15	32	2.133
12	2400	1679	2929	1	25	48	1.920
7	2700	2291	3541	1	25	54	2.160
14	2700	1771	3229	1	27	50	1.851
2	3456	3367	4825	1	27	64	2.370
3	4800	4601	6649	1	32	75	2.343
10	6480	4961	8161	1	40	81	2.025
4	13500	12709	18541	1	54	125	2.314

(1<= n < 60)の範囲にあり、
1.8x < (m / n) < 2.4x -> (1 + sqrt(0.64?)) < (m / n) < (1 + sqrt(2))か？
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◎nを６０までの範囲で、ピタゴラス３数を生成し、その中で、プリンプトン３２２の１５行を選択する...ある条件があったか、、、？
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参考)プリンプトン 322 の表に関して
http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/pythagorean2/plimpton322.htm
「...プリンプトン 322 の表では q はすべて一桁の 60 進数なので、...」
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end.