Squaring the Circle : approximated ?, part(1/n)

[0]「円積問題」に到達した。P322プロジェクトから始まって、かなり枝葉に分け入ってきた感じがする。そろそろ本流に戻らないと、来た道を戻れなくなりそうだ。
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[1]sqrt(n)を作図できるが、pi/or/sqrt(pi)は作図できない？が、実際問題、近似値として
捉えれば何でも出来る、、、か？　物理的な作図行為自体も誤差の固まりなのだからと、あっさり割り切る、、、
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[2]「円積問題」にきた訳、(0)pi値が何らかの境界値として機能しているかの探索？、
(1)アルキメデスの外接／内接によるpiの近似値計算、(2)デカルトによるsqrt(n)の作図、
から、ここに至る。
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[3] 肝は、三角形に内接する半円だ。
半径r=1、中心を(x,y)=(0,0)とする。

qcad-20160512-2035.dxf

※図中の寸法は、確認用で、寸法指定で作図したものではなく。
※サイズ＝１では作図しづらかったので、１０倍で作図。1/10にして読んで下さい。
※だいぶ、QCADの操作に慣れてきた。先に作成した後述のサンプルよりはいいかも。
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(x,y)=(1,0),(0,-1.75)を通過するもの、の直線：y=ax+bに着目すると、
a=-b, y=ax-aで、a=1.75, y=1.75x-1.75
(x,y)=(x,1), x=?, 1=1.75x-1.75, x=2.75/1.75=11/7で、
内接半円の底辺（図中：三角形の上部辺）は、11/7*2=22/7=3.142857...
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22/7は見た事ありますね！
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[4]他に、円をころがし、円周を求める方法もみたが、ここでは、あくまでも、近似的なpiを作図する方法で行きます。※目盛りのない定規とコンパスを使用してと言いたい所だが、CADソフト(手直にあったQCAD)を代用する。
使えそうなCAD(当方の稼働OSが古いのでも、うごくもの限定）で、急遽QCADの操作方法を習得したもの。とりあえず、サンプルです。

qcad-20160508-1915.dxf

※始めて間もない操作不慣れから、
[a]半径r=10の円は、sqrt(pi)を求める、下の円のr=10とならず、9.9688になっている。
[b]三角形は、正三角形ではなく、角度６０°のつもりが、６１°になっています。ご了承を。
[c]先の[3]の三角形を横倒しにしたもの。半径r=10を単位円と見立てて、sqrt(pi)を作図。求める正方形は、(sqrt(pi))^2=pi.
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[5]当面、正三角形の６０°でも、かなりいい？近似か？

qcad-20160514-1139.dxf

※正三角形のテンプレートを使用し、半円が内接するまで移動する。
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[6]本件の起点となったものは、別にあった(2016/05/02 around)。
「ヒポクラテスの弓形」で、小円の半円に関して、大円の中心を頂点とする二等辺三角形（もしくは正三角形）に内接した場合にどうなるか？検討中に見えたもの、、、

20160503-1648.rpcd

半径r=34.27で、正三角形の一辺=r*pi=(34.27)*(3.1415)=(107.6592...),near (108.60).
後は、sqrt(pi)が作図できれば、ゴールという流れ。
この前の段階では、学生の頃の製図道具を引っぱり出して、作図にトライしていたが、今は、便利なCADソフトがあり。これを使いましょうとなった。
手近にあったRootPro CAD5(Free)/Windows7で作成したもの。その後動作環境が合わず、現在QCADに変更している。
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※過去メモ整理中。
[7]内接する半円の二等辺三角形の底辺=piになる、角度を求める。

qcad-20160524-1518.dxf

上図の(0,b)で、bを計算すると、
(x,y)=(1,0),(pi/2,1)を追加する直線(y=ax+b)となるため、
0=a+b -> b=-a
1=a(pi/2)+b,1=a(pi/2-1),a=2/(pi-2).
pi=3.1415,a=1.75208...,b=-1.75208...
See[3]. b=-1.75に近いです。
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角度(angle)は、atan(p1/2*(pi-2)/pi)=atan(pi/2-1).
Excel2003)=DEGREES(ATAN(PI()/2-1))=29.717566...
30度に極めて近い、前の正三角形でもかなりいい近似ではないか、、、
See[5].
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[8]

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以下、未整理！
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＠＠＠ピタゴラス３数を分度器にすると、更に、3.1415までの近似となる。
(?,?,?),
(637, 1116, 1285),,,
P322(n>15)に位置するか？
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end.

normal distribution : (1) Invisible boundary

○正規分布とPiの関係を探る。P322関連の補足調査。
前提、諸々）
[1]P322のデータ判定で、標準正規分布の確率〜3近傍？という数字が境界値に浮上してきた。この周辺情報を収集する。できれば、なんらかの根拠が得られれば、ベターだが。
(first trigger:2016/01/22 10:34-/for odrMIN={L=(less 3), S=(bigger 3)?}.)
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[2]正規曲線の式にsqrt(pi)を含む事を思い出した(2016/02/xx)。
<本a>:「百万人の数学、下」ランスロット・ホグベン、日本評論社、(2015)/p.281
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[3]正規分布の確率密度関数をみる。
f(x)=1/(sqrt(2*pi)*σ)*exp(-1/2*((x-μ)/σ)^2)
<本b>:「ここからはじめる統計学の教科書」高橋麻奈、朝倉書店、(2012)/p.42
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[4]さらに、[-3σ,+3σ]では、約99.7%が属する。<本b>:p.41
標準正規分布は、(μ,σ)=(0,1)から、99.7%の範囲は、[-3,+3]になる。
<本b>:p.121:標準正規分布（上側確率）で、Z=3.09は、(0.00100)->0.1%をじっと見た。
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[5]p値=0.001...
<本c>:「p値とは何か, What Is A p-value Anyway?」、Andrew Vickers、丸善出版,(H25)
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[6]pi=3.14..., Z=pi=3.14近辺に何があるか？
Z>3の標準正規分布表をみる。
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
Z=3.13は、(0.4991)で、99.82%  @round(99.82;1)=99.8%
Z=3.14〜3.17は、(0.4992)で、両側検定では、(0.4992*2*100)=99.84%  @round(99.84;1)=99.8%
Z=3.18は、(0.4993)で、99.86%  @round(99.86;1)=99.9% ->棄却域:p=0.001になる。
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[7]試行錯誤には、スマホで便利。casioの計算サイトを利用。
標準正規分布
http://keisan.casio.jp/exec/system/1174204351
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[8]円周率の近似分数をみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.21)密率: 355/113=3.1415929...、粗率: 22/7=3.142857...
p.46)221/71 < pi < 22/7 = (3.11267...) < pi < (3.142857...)
p.49)223/71=3.140845...
~~~
p.95)古代インドでは、sqrt(10)がpiの近似値として使われていた。江戸にも。
※sqrt(10)=3.162277...
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[9]円周率を求める別の試みをみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.96, 186)グレゴリー・ライプニッツ級数あり、
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ...(-1)(n-1)/(2n+1)...
---
[10][9]の近似計算結果を検索(2016/03/02-)。
[a]円周率と無限級数
http://math.artet.net/?eid=212301
4(1 - (1/3))、4(1 - (1/3) + (1/5))...と頭から順番に計算。(1/11)まであり。
~~~
[b]グレゴリー・ライプニッツ級数
http://hiromiootani.info/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%CE%A3k!10.cshtml
グレゴリー・ライプニッツ級数の第150項目までを求めてみました。
降順に一覧あり。下段抜粋。
...
0.744011544011544
0.834920634920635
0.7238095238095238
0.8666666666666667
0.6666666666666666
1
1
π/4=0.7837315152482703 
---
[11]グレゴリー・ライプニッツ級数を自分でも検算。
式からもわかるが、±で振動しながらも、piにゆっくりと接近している。
~~~初心を忘れるべからず、目的は、正規分布と絡める話,,,ではあるが、手詰まり,,,
---
[12]新たな突破口発見！(2016/03/03-)
<本a>:p.174)級数積分法でpiの計算,,,
抜粋）グレゴリー・ライプニッツ級数
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - (1/11)...
２項ずつまとめる方法は２つある。
[A式] pi/4 = 1 - ((1/3)-(1/5)) - ((1/7)-(1/9)) - ((1/11)-(1/13)) - ...
[A式] pi/4 = 1 - (2/15) - (2/63) - (2/143) - ...
~~~
[B式] pi/4 = (1-(1/3)) + ((1/5)-(1/7)) + ((1/9)-(1/11)) + ((1/13)-(1/15)) + ...
[B式] pi/4 = (2/3) + (2/35) + (2/99) + (2/195) + ...
~~~
従って、(2/3) < (pi/4) < 1 -> (2.666...) < pi < 4
...

(続く...)
end.

PI分布：(3)確率とπ

2008/09/06）起案？
2008/09/27）起案？

正規分布の式　(ガウス分布)
：π、ｅもからむ。

OpenOffice.org 2.3.1
f(x) = 1 over {sqrt{2π}σ}exp(-(x-μ)^2 over {2σ^2})

～～～
思考１）
物事の判断は、判断の集合知に影響を受けて、人知を超えた力でπの傾向を示す？
Idea 1)
The judgment of things shows the tendency to π by power that
is influenced from set wisdom of the judgment, and exceeds
the intellect. maybe?

ゲーム理論の本）内容は未整理。TODO)
KI図書館：２冊：借りています。
[1]
もっとも美しい数学ゲーム理論 トム・ジーグフリード 冨永 星 (単行本 - 2008/2)
A Beautiful Math: John Nash, Game Theory, And the Modern Quest for a Code of Nature Tom Siegfried (2006/10/20)
[2]
ビューティフル・マインド 天才数学者の絶望と奇跡 シルヴィア ナサー 塩川 優 (単行本 - 2002/3/15)
A Beautiful Mind: A Biography of John Forbes Nash, Jr., Winner of the Nobel Prize in Economics, 1994 Sylvia Nasar (1999/5)
***DO図書館：１冊：返却済み
[3]
ナッシュは何を見たか -純粋数学とゲーム理論 H.W. クーン、S. ナサー、落合 卓四郎、 松島 斉 (単行本 - 2005/10/22)
～～～
思考２）
中央で管理するものがなく、個々に動作しているのに、調和してみえる。
：個別の動きが、意図していないのに、自然と統一してみえる。
Idea 2)
It harmonizes though there is no something managed at the center,
and it operates individually.
:It naturally unites it though individual movement doesn't intend.

[1]発生生物学
シマウマの縞 蝶の模様 エボデボ革命が解き明かす生物デザインの起源 ショーン・B・キャロル、渡辺 政隆、 経塚 淳子 (単行本 - 2007/4/24)
Endless Forms Most Beautiful: The New Science of Evo Devo and The Making of the Animal Kingdom Sean B. Carroll (2006/4)
@@@
：極めつけは、縞は、１つのマスタ遺伝子？がコントロールしているのではなく、
たまたま、複数の遺伝子が同調？シンクロしたために、縞となったくだり。
:The point that should make a special mention:The reason for stripes
is that the plural by chance gene tuned it but not the control of
one master gene.
@@@
抜粋！：Excerpt）
p.158)ハエの初期胚で縞状に発現する遺伝子
遺伝子スイッチ、複数の縞模様の１つ１つがそれぞれ別個のスイッチによってコードされていたこと。
(excite Automatic translation from japanese as follows;it's not same
as original one, you know)
The code was done respectively with a distinct switch one by one of
gene switching and two or more striped patterns.
見るとこれは、たった１つのパターンをつくるために、やたらたくさんの仕組みが働いている
ようにも見える。どのツールキット遺伝子の発現パターンにしろ、実際にはたくさんの部品の
総和にすぎず、個々の部品は個々のスイッチによって制御されているという一般原則へと至る。

[2]
DO図書館で以前借りた「SYNC」が見当たらない、、、:2008/09/27
：ホタルの発光同期を思い出す。
I recall firefly's synchronous luminescence story.
SYNC スティーヴン・ストロガッツ、蔵本由紀、 長尾力 (単行本 - 2005/3/29)
Sync: How Order Emerges from Chaos in the Universe, Nature, and Daily Life Steven H. Strogatz (2004/4)
[3]
スモールネットワーク
small network

@@@
：自然は、バラバラに動いていても、意図しなくても、自然と同期するように
出来ているのか？maybe！
:Can nature be synchronized with nature even if it moves disjointedly
or it doesn't intend it?

：これが最適解か？
：Is this an optimal solution?
@@@
[4]
ボイド：BOID
：コントロール部はなし。１つ１つの最適化で、全体の動きの傾向を決定している。
：The control part is none.The tendency to the entire movement has been
decided by individual optimization.
：複雑系
：渋滞学でもあった。
クルマの渋滞 アリの行列 -渋滞学が教える「混雑」の真相- (知りたい!サイエンス (011)) 西成 活裕 (単行本（ソフトカバー） - 2007/6/15
p.145）
～～～
飛躍しすぎ、、、）
π、ｅの少数点展開ー＞prime numbers絡みあり？
ー＞Σnoiseー＞調和してある種のパターンを形成する？
:sum of noise->The pattern of the being harmonized seed is formed.
～～～
end

PI分布：(2)右脳で見た風景

(KI図書館)
これまた、たまたま子供の本探しで、普段行かないコーナーで発見！
ぼくには数字が風景に見える D. タメット 古屋 美登里 (単行本 - 2007/6/13)
原書：Born on a Blue Day By Daniel Tammet

筆者は、サヴァン症候群。映画の「レインマン」の主人公がこの症状。
～～～：以下、抜粋！
[p.11]
素数、数が滑らか。
：9973までの素数はひとつ残らず、丸い小石のような感触があるので、素数だとすぐわかる。

[p.13]
数字を見ると色や形や感情が浮かんでくるぼくの体験を、研究者たちは、「共感覚」と呼んでいる。

[p.14]
この能力は、サヴァン症候群の人によく見られるものだ。
「lightning calculators」、電光石火計算をする人たち

例）Danielの場合、53*131=6943のイメージ

[p.15]
ぼくの頭のなかで、視覚化できるため、13/97のような計算も、少数点以下第100位くらいまで
計算できる。計算するときは紙に書かない。どんな計算も暗算でできる。
~~~
：計算結果は、頭の中でイメージとなって、現れるようだ。まるで魔法のように瞬時に現れる？
~~~
[p.20-21]
素数はつるりとした形をしていて、ざらざらした個性のない合成数(素数以外の数)とまったく
違っている。ある数字が素数だとわかるときには、頭のなか(中心部)でぱっとそういう感じが
するので、言葉で説明するのは難しい。突然、ぴりぴりっとするような、特別な感覚だ。
素数は、ぼくの数字世界の基本になっている。

[p.201]
πを暗唱する日）3月14日、国際πディ、偶然にもアインシュタインの誕生日

[p.205]
πのようにとてつもなく長い数の羅列の場合、ぼくはその羅列を小さなまとまりに分ける。
それぞれのまとまりの大きさは、その中にある数字の種類によってさまざまだ。
たとえば、ある数字がきらきらとして見え、その次にくる数字が暗い場合には、ぼくのなか
では別々の存在として見えるが、滑らかな数字の次に滑らかな数字がくるとつながってみえる。
数字の羅列が長くなるにつれて、数字の風景も複雑になり、いくつもの層ができ、しまいには
数字で表されたひとつの国のようになる。
@@@

π、20桁）
数字でできた線があがっていき、それから暗くなり、中央あたりで起伏が多くなり、それから
曲線を描いて下がってゆく。

π、100桁）
ひとまとまりごとに、風景は変わり、新しい形、色、質感が現れる。
これがえんえんと繰り返されるのだ。

@@@

[p.213]
πの暗唱）
これ以上続けられないかもしれないと思った瞬間は一度だけ。16600桁まで来たとき、
一瞬頭のなかが真っ白になったのだ。

[p.214]
πの少数点以下、22514桁。暗唱：5H9mins：完了！
~~~
まとめ？）
：数字をイメージしただけで(滑らか？)、素数か否かを判断できる。
素数は何か根源的なものか？

：数字には、形・色・質感がある。原書タイトルにもあるように、「青い日に生まれた」とある。

：PI分布は、機械的に等分の範囲で傾向を探る方向でいるが、上記のような等分ではない
グルーピングで分布傾向を調べたら、何が出てくるのだろうか？

：16600桁には、何かあるか？たまたまか？
：πの暗唱を、少数点以下、22514桁した理由は何かあるのか？

：古今東西の様々な知見を集めて、PI分布にトライしたい、、、
~~~
end

PI分布：（１）式からは見えないもの？

ピタゴラスの定理―4000年の歴史 E.マオール 伊理 由美 (単行本 - 2008/2)
The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History by Eli Maor
p.133で発見！
：幾何学的描写が、アルキメデス的でいい。
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1+1/2^2+1/3^2+... -> pi()^2/6 (1.64493)に収束する。
r2=sqrt(1+1/2^2)
r3=sqrt(1+1/2^2+1/3^2)
ピタゴラスの定理で明解！
：すばらしくわかりやすい！　こんなのいままであったのという感じです。

r∞=pi()/sqrt(6)->1.28255に収束。
　※「nearly equal」はエディタでどのように出すのか？TODO)
~~~
このような描写を眺めていると、
すべての波が重なって、１つになった時、PI()の少数点分布の傾向が
少なからず影響しているというアイデアが、ブレイクする予感？がする。
~~~
end