break : prime again (1) : like Mersenne number, 2^(Integer)-1

[0]休憩？／[a]素数生成式を考える、[b]オイラーの式:n^2+n+41では、連続４０個素数を生成するが、４１個を生成する式を試みる、[c]超巨大な素数を追いかけるのではなく、100以下の素数に着目する。素数の個数が一番多く(25個)、やはり密度が高い箇所に分析の対象としたいがため、[d]素数生成式は、過去に、sqrt(n)の連分数での循環節とかを調べていたが、pending、[e]原始根の実用的な使い方が、イマイチ理解できないが、使いたい、[f]数論の書籍を収集したが、読了に至るのはいつのことか？、その中で4n+1, 4n+3素数を知ってよかった、などなど。
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[1]2017/Nov./2x)本：「世界は素数でできている」、小島寛之、角川新書、(2017)を見ていると、メルセンヌ数がかなり露出しているように感じた。p=(2^x)-1, p=素数、x=(1,2,3,,,自然数)
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[2]想起:2017/Nov./e）p=(2^x)-1, p=(100以下の素数), x=整数で表現したら、どうなの？
2^x=p+1,log2(2^x)=log2(p+1),x=log2(p+1), cal by casio:fx-915ES.
^^^
p=2,x=1.584962501<=小数部同じ？
p=3,x=2
p=5,x=2.584962501<=小数部同じ？
p=7,x=3
p=11,x=3.584962501<=小数部同じ？
p=13,x=3.807354922
p=17,x=4.169925001
p=19,x=4.321928095
p=23,x=4.584962501<=小数部同じ？
p=29,x=4.906890596
p=31,x=5
p=37,x=5.247927513
p=41,x=5.392317423
p=43,x=5.459431619
...
※小数部(n.584962501)はマジックナンバーか？
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[3]2017/Dec, (2^n.584962501)-1のnを追求すると、どうなるか？
リアルpに近づいたり、離れたりしている。たまに一致する場面もあるが。これは素数が式では表せない、ランダム性を内在するのか？とか夢想,,,p=式+ランダム,,,(pending)
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[4]2017/Dec./Mid, (2^x)-1=p<=100, xはどうなの？
x=(整数部).(小数部), (小数部)=同一値で、(整数部)を(n, n+1,,,n+m)と変化させたときに、別の素数との絡みはあるか？とか,,,夢想,,,(pending)
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[5]2017/Dec./17, 13:47-, (2,3)から全てがつくれるか？とか、,,,夢想,,,(pending)
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[6](2^x)-1=p, x=n.(小数部),
(minus方向):x=1.(小数部), 2.(小数部), 3.(小数部),,,(n-1).(小数部)
(plus方向):x=(n+1).(小数部), (n+2).(小数部),,,(n+∞).(小数部)
の場合、他のpとの絡みは？
^^^
(minus方向)の場合、合成数を通過する。
例）p=43,x=5.459431619
x=4.459431619, (2^x)-1=21
x=3.459431619, (2^x)-1=10 <=
x=2.459431619, (2^x)-1=4.5
x=1.459431619, (2^x)-1=1.75
x=0.459431619, (2^x)-1=0.375
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[7]仮説１）[a]奇数は、偶数からつくられる。
[b]素数は、奇数から素数判定で割り出す。基本はフェルマーテストで行う。
[c]カーマイケル数対策は、対象数のx=n.(小数部)の一つ前のx=(n-1).(小数部)の奇数に対する原始根で判定する。
///pow()≡1、@@@TODO

[d]対象数の１つ前が、偶数の場合は、偶数の素因数分解し、その全ての合成数で、原始根を求めて判定する。
///例）@@@TODO

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[8]仮説１）作業用シート、一部(2017/Dec./19, 06:03)

[a]左端は、偶数だけのはずが、９が混じってしまった。
[b]縦の１列目=4n+1?、２列目以降=4n+3?
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[9]素数判定
フェルマーテスト：本：「数の世界」、和田秀男、岩波書店、(1981)、p117/
a^(n-1) ≡ 1 (mod n), n=素数
a^(n-1) !≡ 1 (mod n), n!=素数
^^^
フェルマーテストをパスする合成数が存在する、それはカーマイケル数 (Carmichael number)。
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[10]原始根を求める、紙媒体
本：「数の世界」、和田秀男、岩波書店、(1981)、p.244-/10,000以下の奇素数とその最小素数原始根の表
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[11]原始根を求める、オンライン
WolframAlpha/primitiveroot[n], n<>pはerror. 
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[12] 原始根を求める、オンライン実行
python.org/online consoleで、pow()を実行可。
>>> pow(123,456,789)
699
@pow(123,456,789)=mod(123^456, 789),pow()=べき剰余
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[13]原始根をある範囲で求める。オンラインpgm実行環境で、もうしばらくpythonも使っていなかったので、結局慣れているRで実行。誰でも作れる内容ではあるが、自分用に公開。出先で使えるため。
https://ideone.com/4quvcG
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[14]n=23(=p)の原始根を見る。最小素数原始根=5.
^^^[a]references
[wada's book] min(primitive root(23))=5
http://m.wolframalpha.com/, PrimitiveRoot[23]=5

^^^[b]ideone/4quvcG, makePowList()
pow(2,[0-22],23)
makePowList(v_base = 2, v_mod = 23, op_mode = "list")
 v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2       23     0      1             22
2       2       23     1      2             21
3       2       23     2      4             19
4       2       23     3      8             15
5       2       23     4    16               7
6       2       23     5      9             14
7       2       23     6    18               5
8       2       23     7    13             10
9       2       23     8      3             20
10     2       23     9      6             17
11     2       23   10    12             11
12     2       23   11      1             22   
13     2       23   12      2             21
14     2       23   13      4             19
15     2       23   14      8             15
16     2       23   15    16               7
17     2       23   16      9             14
18     2       23   17    18               5
19     2       23   18    13             10
20     2       23   19      3             20
21     2       23   20      6             17
22     2       23   21    12             11
23     2       23   22      1             22

makePowList(v_base = 2, v_mod = 23, op_mode = "pow1")
 v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2    23    0   1         22
12     2    23  11   1         22 @pow(2,11,23)=1
23     2    23  22   1         22 @pow(2,22,23)=1

^^^[c]v_base=[3-15], makePowList(v_base, v_mod = 23, op_mode = "pow1")
   v_base v_mod num pow powDiffMod
1       3    23    0   1         22
12     3    23  11   1         22
23     3    23  22   1         22

1       4    23   0    1         22
12     4    23  11   1         22
23     4    23  22   1         22

1       5    23   0    1         22
23     5    23  22   1         22

1       6    23   0    1         22
12     6    23  11   1         22
23     6    23  22   1         22
...
[7-14] : {6=(11,22), 7=(22), 8=(11,22), 9=(11,22), 10=(22), 11=(22), 12=(11,22), 13=(11,22), 14=(22)}. except n^0=1
...
1     15    23   0    1         22
23   15    23  22   1         22

^^^[d]checked it same as pow() in python.org.
pow(n,22,23)=1
-
pow(2,11,23)=1
pow(3,11,23)=1
pow(4,11,23)=1
pow(5,11,23)=22 <=here!
pow(6,11,23)=1
pow(7,11,23)=22
pow(8,11,23)=1
pow(9,11,23)=1
pow(10,11,23)=22
pow(11,11,23)=22
pow(12,11,23)=1
pow(13,11,23)=1
pow(14,11,23)=22
pow(15,11,23)=22
...
@all:pow()=1/or/22(=p-1)?
@see sheet[8], n=23(=2^(n.x)-1), 2^(n-1.x)-1=11.
(2017/12/23, started | 2018/01/09, 11:39, touched)
---
[15]n=47(=p)の原始根を見る。
^^^[a]makePowList(v_base = 2, v_mod = 47, op_mode = "pow1")
   v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2    47    0   1         46
24     2    47  23   1         46
47     2    47  46   1         46

^^^[b]pow(?,?,47)=?
pow(n,46,47)=1
-
pow(2,23,47)=1
pow(3,23,47)=1
pow(4,23,47)=1
pow(5,23,47)=46 <=PrimitiveRoot[47]=5
pow(6,23,47)=1
pow(7,23,47)=1
pow(8,23,47)=1
pow(9,23,47)=1
pow(10,23,47)=46
pow(11,23,47)=46
pow(12,23,47)=1
pow(13,23,47)=46
pow(14,23,47)=1
pow(15,23,47)=46
...
@all:pow()=1/or/46(=p-1)?
@see sheet[8], n=47(=2^(n.x)-1), 2^(n-1.x)-1=23.
---
[16]n=15(!=p)の原始根の状態を見る。
@@@@:TODO
@@@@:TODO
---
[17]to[19] : blank.
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[20]カーマイケル数対応の例）n=561, @this number is checked by Wikipedia.
[a-1]n=561=4n+1で、１列目の可能性大で、その一つ前は、偶数。
[a]pow(2,560,561)=1,フェルマーテスト=pass.
[b]log2(561+1)=9.13442632,x=0.13442632,
(2^8.x)-1=280<=this selected.偶数でした。
(2^7.x)-1=139.5
(2^6.x)-1=69.249~
(2^5.x)-1=34.1249~
(2^4.x)-1=16.5625
(2^3.x)-1=7.781249~
[c]280=2^3*5*7=2*2*2*5*7
[d][c]から合成数を生成する。
（1組）2, 5, 7
（2組）2*2=4, 2*5=10, 2*7=14, 5*7=35
（3組）2*2*2=8, 2*2*5=20, 2*2*7=28, 2*5*7=70
（4組）2*2*2*5=40, 2*2*2*7=56, 2*2*5*7=140
結果、合成数=(2,4,5,7,8,10,14,20,28,35,40,56,70,140)
[e]求めた合成数の561に対する原始根を求める。
pow(2,合成数,561)=(合成数=原子根)=(2=4,4=16,5=32,7=128,8=256,10=463,14=115,
20=67,28=322,35=263,40=1,56=460,70=166,140=67)
pow(2,40,561)=1から、n=561<>p(prime).
(2017/Dec./23, 21:26)
---
[20-1]n=561,原始根分布は、(pow() by python.org)

^^^[a]pow([2-15],560,561)=1?
pow(2,560,561)=1
pow(3,560,561)=375
pow(4,560,561)=1
pow(5,560,561)=1
pow(6,560,561)=375
pow(7,560,561)=1
pow(8,560,561)=1
pow(9,560,561)=375
pow(10,560,561)=1
pow(11,560,561)=154
pow(12,560,561)=375
pow(13,560,561)=1
pow(14,560,561)=1
pow(15,560,561)=375

^^^[b]pow([2-15],40,561)=1?
pow(2,40,561)=1
pow(3,40,561)=441
pow(4,40,561)=1
pow(5,40,561)=67
pow(6,40,561)=441
pow(7,40,561)=67
pow(8,40,561)=1
pow(9,40,561)=375
pow(10,40,561)=67
pow(11,40,561)=220
pow(12,40,561)=441
pow(13,40,561)=1
pow(14,40,561)=67
pow(15,40,561)=375
(2018/01/09, 10:50, touched)
---
[21]n=1105では？=p/or/<>p?
[a]pow(2,1104,1105)=1, pass. n=1105=p?
[b]
@@@:TODO

---
[22]カーマイケル数で、4n+3を探す。
[22-a]A002997 https://oeis.org/A002997
Carmichael numbers: a^(n-1) == 1 (mod n)
  n          a(n)
  1          561
  2        1105
  3        1729
  4        2465
  5        2821
  6        6601
  7        8911
  8      10585
  9      15841
10      29341
...
[22-b]4n+3は？
561=3*11*17, 4n+1, pow(2,560,561)=1
1105=5*13*17, 4n+1, pow(2,1104,1105)=1
1729=7*13*19, 4n+1, pow(2,1728,1729)=1
2465=5*17*29, 4n+1, pow(2,2464,2465)=1
2821=7*13*31, 4n+1, pow(2,2820,2821)=1
6601=7*23*41, 4n+1, pow(2,6600,6601)=1
8911=7*19*67, 4n+3, pow(2,8910,8911)=1 <=check this!
10585=5*29*73, 4n+1, pow(2,10584,10585)=1
15841=7*31*73,4n+1, pow(2,15840,15841)=1
29341=13*37*61, 4n+1, pow(2,29340,29341)=1

[22-c]to check n=8911, as (2^n)-1.
log2(8911+1)=13.12153352,x=0.12153352, pow(2,8910,8911)=1, 8911=4n+3,
(2^12.x)-1=4455.000008, 4455=3^4*5*11, odd, pow(2,4454,4455)=4009, 4455=4n+3,
(2^11.x)-1=2227.000004, 2227=17*131, odd, pow(2,2226,2227)=429, 2227=4n+3,
(2^10.x)-1=1113.000002, 1113=3*7*53, odd, pow(2,1112,1113)=130, 1113=4n+1,
(2^9.x)-1=556.000001, 556=2^2*139, even, pow(2,555,556)=8,
-
(2^8.x)-1=277.5000005
(2^7.x)-1=138.2500003
(2^6.x)-1=68.62500013
(2^5.x)-1=33.81250006
(2^4.x)-1=16.40625003
(2^3.x)-1=7.703125016
(2^2.x)-1=3.351562508
(2^1.x)-1=1.175781254
(2^0.x)-1=0.08789062701

[22-d]pow() : to check 4455 as previous one of n=8911.
pow(2,4455,8911)=6364
pow(3,4455,8911)=8910
pow(4,4455,8911)=1
pow(5,4455,8911)=2813
pow(6,4455,8911)=2547
pow(7,4455,8911)=1540
pow(8,4455,8911)=6364
pow(9,4455,8911)=1
pow(10,4455,8911)=8644
pow(11,4455,8911)=267
pow(12,4455,8911)=8910
pow(13,4455,8911)=8910
pow(14,4455,8911)=7371
pow(15,4455,8911)=6098
-
pow(2,8910,8911)=1
pow(3,8910,8911)=1
pow(4,8910,8911)=1
pow(5,8910,8911)=1
pow(6,8910,8911)=1
pow(7,8910,8911)=1274
pow(8,8910,8911)=1
pow(9,8910,8911)=1
pow(10,8910,8911)=1
pow(11,8910,8911)=1
pow(12,8910,8911)=1
pow(13,8910,8911)=1
pow(14,8910,8911)=1274
pow(15,8910,8911)=1

[22-e]to check pos of pow()=1,  use makePowList(v_base = 2, v_mod = 8911, op_mode = "pow1")
     v_base v_mod  num pow powDiffMod
      1      2  8911       0   1       8910
  199      2  8911   198   1       8910
  397      2  8911   396   1       8910
  595      2  8911   594   1       8910
  793      2  8911   792   1       8910
  991      2  8911   990   1       8910
1189      2  8911 1188   1       8910
1387      2  8911 1386   1       8910
1585      2  8911 1584   1       8910
1783      2  8911 1782   1       8910
1981      2  8911 1980   1       8910
2179      2  8911 2178   1       8910
2377      2  8911 2376   1       8910
2575      2  8911 2574   1       8910
2773      2  8911 2772   1       8910
2971      2  8911 2970   1       8910
3169      2  8911 3168   1       8910
3367      2  8911 3366   1       8910
3565      2  8911 3564   1       8910
3763      2  8911 3762   1       8910
3961      2  8911 3960   1       8910
4159      2  8911 4158   1       8910
4357      2  8911 4356   1       8910
4555      2  8911 4554   1       8910
4753      2  8911 4752   1       8910
4951      2  8911 4950   1       8910
5149      2  8911 5148   1       8910
5347      2  8911 5346   1       8910
5545      2  8911 5544   1       8910
5743      2  8911 5742   1       8910
5941      2  8911 5940   1       8910
6139      2  8911 6138   1       8910
6337      2  8911 6336   1       8910
6535      2  8911 6534   1       8910
6733      2  8911 6732   1       8910
6931      2  8911 6930   1       8910
7129      2  8911 7128   1       8910
7327      2  8911 7326   1       8910
7525      2  8911 7524   1       8910
7723      2  8911 7722   1       8910
7921      2  8911 7920   1       8910
8119      2  8911 8118   1       8910
8317      2  8911 8316   1       8910
8515      2  8911 8514   1       8910
8713      2  8911 8712   1       8910
8911      2  8911 8910   1       8910
---
[23]blank.

@@@@@@
@@@@@@
@@@@@@
[TODO]
---
[7][c],[d]
[16]
[21]
@@@@@@
@@@@@@
@@@@@@
---
end.

だいたんな仮説（２）

(2008/05/22起案)
～～～
SA図書館）Rで学ぶデータマイニングⅡ,p.76で、「定常過程と非定常過程」の単位根検定で、tseries パッケージの adf.test() を使用する記述あり。
検定結果から、
非定常過程＝ブラウン運動（ランダムウォーク）である
定常過程＝ブラウン運動（ランダムウォーク）でない
とある。
～～～
試しに、fitvalのある範囲に対して、adf.test()を実行したら、ｎ＝小さい方(@@値を入れる@@)で、定常過程、ｎ＝大きい方(@@値を入れる@@)で、非定常過程の値が出た。※後から正確な数字を出す必要がある。
～～～
イメージ（野生の感）として、
Ｎｔh primeのfitvalは、ｎを「時間の矢」とするならば、
＝｛？過程｝->｛定常過程｝->｛非定常過程｝
なのか？
～～～
煙突からたなびく煙の状態をfitval が体現しているのでは？
(TODO)煙突の絵がほしい、、、
～～～
Nth primeの式にsin(n)を入れているが、これを使用しないfitvalでも adf.test() を実行してみるとどうなるか？
～～～
end

素数生成式、その他

ネットワーク機器の故障から、数日アクセスできなくなった。レンタルモデム到着で復旧。
～～～
SA図書館から、
素数の不思議 (単行本（ソフトカバー）) 好田 順治 (著)
を借りた。
p.75の記述に関して、検索。
===
(2008/05/28,12:47追記)
p.74-p.75)P(n)とpi(n)を間違っている、、、困ります。以下のURLを参照。
===
～～～
（google:素数 13800000 15400000）
http://primes.utm.edu/howmany.shtml
Consequence Two: The nth prime is about n log n
にありました（実は、2008/03/06に印刷していたが、よく見てなかった、、、）
～～～
これらの式で、fitvalを計算してみるもの面白そうだ！

Nth Primeの残差とはなにか？

時系列ツールに、「Nth Primeの残差」を与えようとして、
明確なイメージをもっていなかったことに気づく。

漠然としたイメージを列記すると、
[1]fitValそのもの
[2]Nth Prime式で得た素数と実際の素数の差　(誤差？)
[3]fitValのトレンドを式で表現し、それを組み込んだNth Prime式と実際の差

～～～
2007後半で試行した、fitValのトレンド式探索では、
(...未整理...)
1e7?　までは、y=a*LN(x)+b で近似できそうなので、
Nthの範囲限定であれば、[3]を試したいところ、、、なのか？自問自答...

end

Rで学ぶデータマイニング (2)

Rの時系列を調べるために、

SA図書館）から、
Rで学ぶデータマイニング (1) 熊谷 悦生 (著), 舟尾 暢男 (著)
Rで学ぶデータマイニング (2) 熊谷 悦生 (著), 舟尾 暢男 (著)
を借りた。
～～～
とりあえず、「Rで学ぶデータマイニング (2)」の「第４部　シミュレーションの現場」を
集中的にチェックする。
～～～
R version 2.6.1 ※本では、2.5.1　でしたが。
パッケージ：tseries
を使用。
～～～
end

googol, 1e100

googol(ゴーゴル)=google(グーグル)の由来、
数学で、googol=1e100 (無限大？)
Nth prime projectも、1e100の探索？範囲としよう。
end

だいたんな仮説(1), prime noise

案です。

時系列データ＝トレンド＋周期＋ホワイトノイズ
(data of Time series)=(Trend)+(Cycle)+(White noise)
であるならば、

(Prime trend)　と (Prime noise) を使って、、、
～～～
(Trend) -> (Prime trend)
(White noise) -> (Prime noise)
～～～
{(data of Time series) - (something of Prime)}
= {(Trend) - (Prime trend)}
+(Cycle)
+{(White noise) - (Prime noise)}
====> pure data of original's data
～～～
end

n,fitVal,diffでdiffをみる、その後

Nth prime from 10^1 to 10^18
で、
diff のパターンを探る。
～～～
n, fitVal, diff, diff2=LN(diff(n)/diff(n=1))
1, 0.016697271, 7.10543E-15
2, 0.118285099, 1.13687E-13, 2.772588722 = LN(1.13687E-13/7.10543E-15)
3, 0.133713395, 9.09495E-13, 4.852030264
4, 0.133937284, 1.45519E-11, 7.624618986
5, 0.134500591, 4.65661E-10, 11.09035489
6, 0.135418895, 3.72529E-09, 13.16979643
7, 0.136435938, 5.96046E-08, 15.94238515
8, 0.137127055, 2.38419E-07, 17.32867951
9, 0.137635663, 7.62939E-06, 20.79441542
10, 0.137960709, 3.05176E-05, 22.18070978
11, 0.138136724, 0.000488281, 24.9532985
12, 0.138191928, 0.00390625, 27.03274004
13, 0.138152185, 0.0625, 29.80532876
14, 0.138038091, 1, 32.57791749
15, 0.137866058, 8, 34.65735903
16, 0.137649034, 64, 36.73680057
17, 0.137397218, 512, 38.81624211
18, 0.137118652, 8192, 41.58883083 =LN(8192/7.10543E-15)

～～～
diff2 をグラフ化すると、線形になった。

Excelの近似を使用。

～～～
prime3, Clawson's Pn も線形であるが、パラメータは若干異なる。

y = ax + b

[prime] Nth prime from 10^1 to 10^18

a = 2.4107
b = -1.6411

[prime3] Nth prime from 10^1 to 10^25

a = 2.3992
b = -1.5729

[Clawson's Pn] Nth prime from 10^1 to 10^100

a = 2.3311
b = 0.3961

～～～
[in prime]

MIN = 7.11e-15
a = 2.4107
b = -1.6411

diffAdj = MIN * exp(a * LOG(n) + b)

～～～
Nth prime from 1 to 1000,

diff and diffx(= diff - diffAdj) のグラフは以下。

(sosuu-fitVal-out-level-20-withsin-withdiff-so-from-2-.txt)

※前までは、level-9　までで、今回2～、level-20で行った。fitValの探索桁数が9->20にしたという話。

[diff] Nth prime from 6th to 1000th.

[diffx] Nth prime from 6th to 1000th.
～～～
n=5th で　diff=特異点？？？　これは何か？

(sosuu-fitVal-out-level-20-withsin-withdiff-so-from-2-.txt)
n=1th to 5th まで、fitVal<0で、n=5thで突然、diffがピークをむかえる、、、何か？

～～～

久々に、fitValのグラフを見る。 これらは、昨年からのものを、いまだ整理していない、、、

時系列？で表現できないかなぁ・・・

end

Calvin C. Clawson's Pn、fitValをグラフにすると

(memo:sosuu-fitVal-out-level-20-withsin-withdiff-so-20080505-2116-Clawson-p208.xls)


Clawson's Pn のグラフ
～～～
[1]fitValの傾向(x=10^n,y=fitVal) ,range=ALL(from n=1 to n=100)

[2]fitValの傾向(x=10^n,y=fitVal) ,range=(from n=2 to n=100)

[3]fitValの傾向(x=10^n,y=fitVal) ,range=(from n=4 to n=100)
end

Calvin C. Clawson's Pnで、1e100までのfitValを求める

今週は、DO図書館から、
「数学の不思議―数の意味と美しさ 」2005/05/25
カルヴィン・C. クロースン (著), Calvin C. Clawson (原著), 好田 順治 (翻訳)
を借りている。
～～～
Mathematical Mysteries: The Beauty and Magic of Numbers
by Calvin C. Clawson (Author)
～～～
これは、素数の本だ。

全部読みきれていないが、
日本語版、p.208に、
n番目の素数計算式があった。

1e100までのfitValの傾向を探る目安を得てみる。

Pn~n*ln(n) + n(ln(ln(n)) - 1)

～～～
(memo:sosuu-fitVal-out-level-20-withsin-withdiff-so-20080505-2116-Clawson-p208.txt)

n, Pn, fitVal, diff
10, 2.13661753824200000000E01, 0.6768087999184148, 3.552713678800501E-15
100, 5.13234981179599000000E02, 0.1794684563433643, 1.1368683772161603E-13
1000, 7.84040001289820000000E03, 0.14290452716961893, 9.094947017729282E-13
10000, 1.04306671783440000000E05, 0.13719061625914533, 1.4551915228366852E-11
100000, 1.29563958226523000000E06, 0.13680719083338835, 2.3283064365386963E-10
1000000, 1.54413024724403000000E07, 0.1374023802269421, 1.862645149230957E-9
10000000, 1.78980382452616000000E08, 0.13805663577906238, 2.9802322387695312E-8
100000000, 2.03341547308802000000E09, 0.1385617016935984, 4.76837158203125E-7
1000000000, 2.27545228595306000000E10, 0.13889080815918026, 3.814697265625E-6
10000000000, 2.51624684681825000000E11, 0.1390638633185092, 6.103515625E-5
1E11, 2.75603637409808000000E12, 0.1391095612478985, 9.765625E-4
1E12, 2.99499602109645000000E13, 0.13905464469761267, 0.0078125
1E13, 3.23325880116321000000E14, 0.1389213966174301, 0.0625
1E14, 3.47092810767799000000E15, 0.13872763601437535, 1.0
1E15, 3.70808590412608000000E16, 0.13848738587885942, 8.0
1E16, 3.94479826553925000000E17, 0.13821162351736357, 128.0
1E17, 4.18111923702030000000E18, 0.13790893907273943, 512.0
1E18, 4.41709358770369000000E19, 0.13758606781877572, 16384.0
1E19, 4.65275881913013000000E20, 0.13724830614579822, 131072.0
1E20, 4.88814665786829000000E21, 0.13689983215457574, 2097152.0
1E21, 5.12328418358463000000E22, 0.1365439516230145, 8388608.0
1E22, 5.35819469444753000000E23, 0.1361832867838571, 6.7108864E7
1E23, 5.59289838000402000000E24, 0.13581992163815942, 1.073741824E9
1E24, 5.82741285074530000000E25, 0.13545551429782482, 1.7179869184E10
1E25, 6.06175355949673000000E26, 0.13509138427704895, 2.06158430208E11
1E26, 6.29593414011146000000E27, 0.13472858068230514, 2.199023255552E12
1E27, 6.52996668220915000000E28, 0.13436793576971182, 8.796093022208E12
1E28, 6.76386195592564000000E29, 0.1340101072345526, 2.81474976710656E14
1E29, 6.99762959720617000000E30, 0.13365561177635493, 2.251799813685248E15
1E30, 7.23127826167315000000E31, 0.13330485187130453, 9.007199254740992E15
1E31, 7.46481575325485000000E32, 0.1329581372269248, 2.8823037615171174E17
1E32, 7.69824913238572000000E33, 0.13261570205131595, 2.305843009213694E18
1E33, 7.93158480755179000000E34, 0.13227771901104485, 1.8446744073709552E19
1E34, 8.16482861316617000000E35, 0.1319443105561157, 2.9514790517935283E20
1E35, 8.39798587615290000000E36, 0.1316155581415034, 1.1805916207174113E21
1E36, 8.63106147314897000000E37, 0.13129150976056142, 1.888946593147858E22
1E37, 8.86405987986719000000E38, 0.1309721861178092, 1.5111572745182865E23
1E38, 9.09698521387481000000E39, 0.13065758570055366, 1.2089258196146292E24
1E39, 9.32984127181454000000E40, 0.13034768895589027, 3.8685626227668134E25
1E40, 9.56263156191237000000E41, 0.13004246173824066, 1.5474250491067253E26
1E41, 9.79535933247081000000E42, 0.12974185816005143, 1.2379400392853803E27
1E42, 1.00280275969281000000E44, 0.12944582295260273, 1.9807040628566084E28
1E43, 1.02606391559685000000E45, 0.12915429342348902, 3.1691265005705735E29
1E44, 1.04931966170904000000E46, 0.12886720108112265, 3.802951800684688E30
1E45, 1.07257024119750000000E47, 0.12858447298361947, 4.056481920730334E31
1E46, 1.09581588119463000000E48, 0.12830603285897152, 3.2451855365842673E32
1E47, 1.11905679417678000000E49, 0.12803180203505973, 2.5961484292674138E33
1E48, 1.14229317919870000000E50, 0.12776170021118266, 4.153837486827862E34
1E49, 1.16552522300067000000E51, 0.12749564609731093, 1.6615349947311448E35
1E50, 1.18875310100378000000E52, 0.12723355794272745, 3.9876839873547476E36
1E51, 1.21197697820669000000E53, 0.12697535397203802, 2.1267647932558654E37
1E52, 1.23519700999520000000E54, 0.1267209527435739, 1.7014118346046923E38
1E53, 1.25841334287484000000E55, 0.12647027344258335, 2.7222589353675077E39
1E54, 1.28162611513491000000E56, 0.12622323611972644, 2.1778071482940062E40
1E55, 1.30483545745153000000E57, 0.1259797618835978, 5.226737155905615E41
1E56, 1.32804149343650000000E58, 0.12573977305454692, 5.575186299632656E42
1E57, 1.35124434013743000000E59, 0.12550319328605, 2.2300745198530623E43
1E58, 1.37444410849449000000E60, 0.1252699476587417, 1.7840596158824499E44
1E59, 1.39764090375802000000E61, 0.1250399627515378, 8.563486156235759E45
1E60, 1.42083482587113000000E62, 0.12481316669349113, 4.5671926166590716E46
1E61, 1.44402596982058000000E63, 0.12458948919954721, 5.480631139990886E47
1E62, 1.46721442595924000000E64, 0.12436886159278668, 2.9230032746618058E48
1E63, 1.49040028030264000000E65, 0.12415121681544669, 4.6768052394588893E49
1E64, 1.51358361480227000000E66, 0.12393648943055521, 3.7414441915671115E50
1E65, 1.53676450759757000000E67, 0.12372461561584797, 5.9863107065073784E51
1E66, 1.55994303324881000000E68, 0.12351553315125846, 4.7890485652059027E52
1E67, 1.58311926295240000000E69, 0.12330918140118967, 1.915619426082361E53
1E68, 1.60629326474019000000E70, 0.12310550129254343, 3.0649910817317777E54
1E69, 1.62946510366434000000E71, 0.12290443528929489, 7.355978596156267E55
1E70, 1.65263484196881000000E72, 0.12270592736436607, 1.9615942923083377E56
1E71, 1.67580253924867000000E73, 0.12250992296937806, 6.277101735386681E57
1E72, 1.69896825259835000000E74, 0.12231636900276649, 5.0216813883093446E58
1E73, 1.72213203674962000000E75, 0.12212521377671287, 8.034690221294951E59
1E74, 1.74529394420012000000E76, 0.12193640698325996, 3.2138760885179806E60
1E75, 1.76845402533338000000E77, 0.12174989965986842, 7.713302612443153E61
1E76, 1.79161232853082000000E78, 0.12156564415471754, 2.0568806966515076E62
1E77, 1.81476890027643000000E79, 0.12138359409193938, 6.582018229284824E63
1E78, 1.83792378525473000000E80, 0.12120370433696487, 5.2656145834278593E64
1E79, 1.86107702644245000000E81, 0.12102593096213625, 4.2124916667422875E65
1E80, 1.88422866519445000000E82, 0.12085023121270294, 6.73998666678766E66
1E81, 1.90737874132438000000E83, 0.12067656347328344, 5.391989333430128E67
1E82, 1.93052729318024000000E84, 0.12050488723491987, 4.3135914667441024E68
1E83, 1.95367435771550000000E85, 0.12033516306272823, 3.450873173395282E69
1E84, 1.97681997055591000000E86, 0.12016735256423776, 2.7606985387162255E70
1E85, 1.99996416606232000000E87, 0.12000141835844996, 8.834235323891922E71
1E86, 2.02310697738989000000E88, 0.11983732404562834, 7.067388259113537E72
1E87, 2.04624843654385000000E89, 0.11967503417785778, 2.826955303645415E73
1E88, 2.06938857443202000000E90, 0.11951451423038856, 4.523128485832664E74
1E89, 2.09252742091450000000E91, 0.11935573057374042, 7.237005577332262E75
1E90, 2.11566500485042000000E92, 0.11919865044662085, 2.894802230932905E76
1E91, 2.13880135414223000000E93, 0.11904324192960444, 9.263367138985296E77
1E92, 2.16193649577749000000E94, 0.11888947391960521, 3.7053468555941183E78
1E93, 2.18507045586847000000E95, 0.11873731610510381, 2.9642774844752946E79
1E94, 2.20820325968958000000E96, 0.11858673894214515, 4.7428439751604714E80
1E95, 2.23133493171283000000E97, 0.11843771363107584, 7.588550360256754E81
1E96, 2.25446549564144000000E98, 0.11829021209401473, 3.0354201441027017E82
1E97, 2.27759497444174000000E99, 0.11814420695303025, 4.8566722305643227E83
1E98, 2.30072339037335000000E100, 0.11799967150903307, 7.770675568902916E84
1E99, 2.32385076501793000000E101, 0.11785657972133085, 6.216540455122333E85
1E100, 2.34697711930641000000E102, 0.11771490618786012, 9.946464728195733E86

end

10^18 と Cino's prime3での10^25で、fitValを求める(4)

グラフの元ネタデータの
n,fitVal,diff
で、diffをチェックする。

[in case of prime]

～～～
８の倍数になっている？　バグ？
***

（グラフはあとで）

～～～
最終的に、式：soに組み込みたい、、、？

10^18 と Cino's prime3での10^25で、fitValを求める(3)

prime3のグラフ
～～～
[1]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=ALL(from n=1 to n=25)
[2]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=(from n=3 to n=25)
[3]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=(from n=5 to n=25)
end

10^18 と Cino's prime3での10^25で、fitValを求める(2)

primeのグラフ
～～～
[1]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=ALL(from n=1 to n=18)[2]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=(from n=3 to n=18)[3]fitValの傾向(x=n,y=fitVal) ,range=(from n=8 to n=18)

end

10^18 と Cino's prime3での10^25で、fitValを求める

2008/05/04）16:55
***
素数生成式でのfitValを求めてみる。
再掲）変数：fitValを含む式は以下となる。
so = Math.sin(x) + x/2.0d * Math.log(x) + x * Math.pow(Math.log(x), (1.0d - 2.0d/(Math.PI * Math.log(x)) - fitVal));
***
Actual data.
n, (10^n)-th prime
1,29
2,541
3,7919
4,104729
5,1299709
6,15485863
7,179424673
8,2038074743
9,22801763489
10,252097800623
11,2760727302517
12,29996224275833
13,323780508946331
14,3475385758524527
15,37124508045065437
16,394906913903735329
17,4185296581467695669
18,44211790234832169331

***
n,fitVal,diff
1, 0.016697270863700153, 7.105427357601002E-15
2, 0.11828509884629772, 1.1368683772161603E-13
3, 0.13371339451737424, 9.094947017729282E-13
4, 0.1339372838724045, 1.4551915228366852E-11
5, 0.13450059066571043, 4.6566128730773926E-10
6, 0.1354188950308203, 3.725290298461914E-9
7, 0.13643593814870322, 5.9604644775390625E-8
8, 0.13712705473049472, 2.384185791015625E-7
9, 0.13763566320049875, 7.62939453125E-6
10, 0.13796070887153472, 3.0517578125E-5
11, 0.13813672367866428, 4.8828125E-4
12, 0.13819192752694057, 0.00390625
13, 0.13815218496828055, 0.0625
14, 0.13803809069118347, 1.0
15, 0.1378660578548974, 8.0
16, 0.1376490335884353, 64.0
17, 0.13739721815320907, 512.0
18, 0.1371186515643004, 8192.0
diff_max=8192.0
diff_min=7.105427357601002E-15
diff_avg=487.6148296100252
level=20
patNo=0(with sin)

～～～
Cino's prime3では、、、
***
Calculated data
n prime3(10^n)
1,29
2,536
3,7923
4,104768
5,1299733
6,15484040
7,179431239
8,2038076587
9,22801797576
10,252097715777
11,2760727752353
12,29996225393465
13,323780512411510
14,3475385760290723
15,37124508056355511
16,394906913798224975
17,4185296581676470068
18,44211790234127235470
19,465675465111725379481
20,4892055594601460009775
21,51271091498034649094620
22,536193870744433106620493
23,5596564467987648427919029
24,58310039994835091909014516
25,606527267811196246600510442

***
n,fitVal,diff
1, 0.016697270863700153, 7.105427357601002E-15
2, 0.1288894823072039, 1.1368683772161603E-13
3, 0.13324998970352347, 9.094947017729282E-13
4, 0.13363803601607202, 1.4551915228366852E-11
5, 0.13448702563443884, 2.3283064365386963E-10
6, 0.13549983834834448, 3.725290298461914E-9
7, 0.1364120411478801, 5.9604644775390625E-8
8, 0.13712648812547937, 4.76837158203125E-7
9, 0.13763475925866678, 3.814697265625E-6
10, 0.13796090636334704, 3.0517578125E-5
11, 0.13813663053504516, 4.8828125E-4
12, 0.1381919067155137, 0.00390625
13, 0.13815217911301042, 0.125
14, 0.13803809041830092, 0.5
15, 0.13786605769436383, 8.0
16, 0.13764903372728024, 64.0
17, 0.13739721812765832, 1024.0
18, 0.13711865157235853, 8192.0
19, 0.13681968947826093, 65536.0
20, 0.1365053716004467, 2097152.0
21, 0.1361797078753624, 8388608.0
22, 0.13584589897768176, 1.34217728E8
23, 0.13550650672215972, 1.073741824E9
24, 0.13516358615133844, 8.589934592E9
25, 0.13481878837582156, 1.37438953472E11
diff_max=1.37438953472E11
diff_min=7.105427357601002E-15
diff_avg=5.889896328025177E9
level=20
patNo=0(with sin)
～～～
fitValは、0.138 近辺で安定せず、下がり始めた、、、
FitVal did not stabilize by about 0.138, and began to fall.

Cino Hilliard は誰？（２）

(google検索) 606527267811196246600510442
:none
～～～
(google検索)
Cino prime
Cino prime number
Cino Hilliard
～～～
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006880

Number of primes with at most n digits; or pi(10^n).

Also omega( (10^n)! ), where omega(x): number of distinct prime divisors of x. - Cino Hilliard (hillcino368(AT)hotmail.com), Jul 04 2007

***
PROGRAM (PARI) g(n) = for(x=0, n, print1(omega((10^x)!), ", ")) - Cino Hilliard (hillcino368(AT)hotmail.com), Jul 04 2007

～～～
end

Cino Hilliard は誰？

(google検索) 44211790234832169331
～～～
http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/7618

approimation of the nth prime Topic List

Hi,
Here is an efficient algorithm to compute the nth prime or prime(n). Some
here may be interested.
I first learned of Gram's R(x) = Rg(x) here from David.The output below is
up to prime3(25). The
Gram's Rg(x) was much faster. Taking advantage of the high precision or
Rg(x) to Pi(x) as is shown
in the table, the error for the largest known (10^n)th prime

prime(10^18) = 44211790234832169331 and
prime3(10^18) = 44211790234127235470 is
1.5944476761871074054 E-11

It is interesting that the number of correct places is more for
prime3(10^18) is 1 more than than
Rg(10^18).

Assuming equaliy,
prime3(19) = 465675465111725379481
prime3(20) = 4892055594601460009775
will be correct to 9 and 11 places. Not bad for .gov work!

n Rg(10^n) Pi(10^n) Relative Error
1, 4, 5, -0.1411457852
2, 25, 26, -0.0264653306
3, 168, 168, -0.0021395611
4, 1229, 1227, 0.0016833048
5, 9592, 9587, 0.0004762574
6, 78498, 78527, -0.0003745245
7, 664579, 664667, -0.0001330881
8, 5761455, 5761552, -0.0000168129
9, 50847534, 50847455, 0.0000015452
10,455050683, 455052511, -0.0000040171
11,4118052495, 4118054813, -0.0000005628
12,37607910542, 37607912018, -0.0000000392
13,346065531066, 346065536839, -0.0000000166
14,3204941731602, 3204941750802, -0.0000000059
15,29844570495887, 29844570422669, 0.0000000024
16,279238341360977, 279238341033925, 0.0000000011
17,2623557157055978, 2623557157654233, -0.000000000022
18,24739954284239494, 24739954287740860, -0.000000000014
19,234057667300228940, 234057667276344607, 0.000000000010
20,2220819602556027015,2220819602560918840, -0.00000000000022

The following program makes use of the fact Pi(prime(x)) = x ~ Rg(prime(x))
and that
xlog(x) is a reasonable estimate of prime(x) while for x = 10^n
10^nlog(10^n) is
often a very good estimate of prime(x). The program uses repetitive
bisection of increments to
the exponent shown below. The trials converge to the same accuracy as Rg(x)
is of Pi(x).

primex3(m) = \\Approximation to the (10^n)-th prime
\\ By Cino hilliard
{
local(x,px,r1,r2,r,p10,b,j,e);
b=10;
for(j=1,m,
n=10^j;
p10=log(n)/log(10);
if(Rg(b^p10*log(b^(p10+1)))< b^p10,e=p10+1,e=p10);
r1 = 0;
r2 = 1;
r=(r1+r2)/2;
for(x=1,100,
r=(r1+r2)/2;
px = Rg(b^p10*log(b^(e+r)));
if(px < b^p10,r1=r,r2=r);
r=(r1+r2)/2;
);
print1(j","round(b^p10*log(b^(e+r))));
)
}


Actual data.
n, (10^n)-th prime
1,29
2,541
3,7919
4,104729
5,1299709
6,15485863
7,179424673
8,2038074743
9,22801763489
10,252097800623
11,2760727302517
12,29996224275833
13,323780508946331
14,3475385758524527
15,37124508045065437
16,394906913903735329
17,4185296581467695669
18,44211790234832169331

Calculated data
n prime3(10^n)
1,29
2,536
3,7923
4,104768
5,1299733
6,15484040
7,179431239
8,2038076587
9,22801797576
10,252097715777
11,2760727752353
12,29996225393465
13,323780512411510
14,3475385760290723
15,37124508056355511
16,394906913798224975
17,4185296581676470068
18,44211790234127235470
19,465675465111725379481
20,4892055594601460009775
21,51271091498034649094620
22,536193870744433106620493
23,5596564467987648427919029
24,58310039994835091909014516
25,606527267811196246600510442

Enjoy,
Cino

～～～
http://groups.msn.com/First300billionprimes/primesieve.msnw
～～～





～～～
(google検索)
Cino Hilliard prime
...

end

1e12番目以上の大きな素数を探す、何番目の情報ありで

N番目の素数は、
http://primes.utm.edu/nthprime/
で、最大 1e12番目 まで。
The 1,000,000,000,000th prime is 29,996,224,275,833.

Nth => sosuu(prime number)
1e12 => 29,996,224,275,833

それ以上の大きな素数で、番号が公開されているものはないか？

～～～
(google検索) nth large prime
～～～
http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html
Prime Number
***
The (10^n)th prime for n=0, 1, ... is given by 2, 29, 541, 7919, 104729, 1299709, 15485863, 179424673, 2038074743, ... (Sloane's A006988; Graham et al. 1990, p. 111).
～～～
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006988
A006988 (10^n)-th prime.
***
http://www.research.att.com/~njas/sequences/table?a=6988&fmt=4
A006988 formatted as a simple table:n
n->a(n)
0->2
1->29
2->541
3->7919
4->104729
5->1299709
6->15485863
7->179424673
8->2038074743
9->22801763489
10->252097800623
11->2760727302517
12->29996224275833
13->323780508946331
14->3475385758524527
15->37124508045065437
16->394906913903735329
17->4185296581467695669
18->44211790234832169331
～～～
http://primes.utm.edu/nthprime/index.php#nth
The 10th prime is 29.
***
10e11
The 1,000,000,000,000th prime is 29,996,224,275,833.
The 1,000,000,000,000th prime is 29996224275833：
上記に一致。
～～～
(google検索) 10^nth prime
：めぼしいページが見つからない。
～～～
気分を変えて、、、上記の最大素数そのもので探索。
(google検索) 44211790234832169331
～～～
http://primes.utm.edu/curios/page.php/44211790234832169331.html
The 10^18th prime number
～～～
end

ゆらぎ、1/f

(2008/04/26)
素数のの変動は多数の波の合成からできているとした場合、
そのスペクトルは、1/fになっているのだろうか？
～～～
「ゆらぎの世界」武者利光、昭和55年10月20日(1980/10/20)、昔に買った本を引っ張り出す。
～～～
ゆらき->Swinging　？？？
～～～
ゆらぎの国際学会もあるみたい、、、

はじめに

ここのページは、まとめページである「prime number」のための雑メモ置き場である。

統計TOOL

2008/04/27）
時系列解析につかえそうなもの）
～～～
OpenOffice Calc (無償)
...大量のデータだと、ハングする

Excel (有償)
...大量データでも、とりあえず、いけます、、、

R (無償)
...全体像を把握しきれていない、、、

SPSS (有償)
...シート的にデータと定義が別、世界が古い？狭い？ような、、、
...とりあえず、情報あつめ要！
～～～
全体のまとめページがある？ほしい。