The Plimpton 322 (2-9): Rhythm Tips

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音律関連で調査した資料を列記する。
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[1]「響きの科楽」、ジョン・パウエル、早川書房、(2011).
p.173) 世界中の古代文明において、楽器を５音音階に合わせて調律する方法が、それぞれ独自に発達したということを認識しておくべきだろう。この調律方法は、自然に発生する現象に基づいたものであったはずだ。さもないと、多数の文明において、等しく発見されることはなかっただろう。
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p.188) ピタゴラス・カンマの課題を解決していれば、ピタゴラスは今や、「三角形のあの男」ではなく、音楽家の守護聖人にでもなっていただろう。
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p.339) D.等分平均律の計算／ガリレイ、朱載堉は、１３弦を１弦の半分の長さにする正確なパーセントを算出。
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[2]「音楽の進化史」、ハワード・グッドール、河出書房新社、(2014).
p.468) (１オクターブ)という単位は、世界中の大半の音楽で使われているが、(１オクターブ)を(12音)に分ける必然性はどこにもない。
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p.18) 楽器の演奏法の記録の中で最も古いのは、BC2600年頃のメソポタミアの粘土板である。演奏法の説明が書かれているのが発見されたのだ。粘土板には、くさび形文字で、キノル（リラ）をはじめとする様々な楽器についての詳しい説明があった。それより、少し新しいBC2000年〜BC1700年頃の古代バビロニアの粘土板も発見されている。この粘土板には、フレットつきの四弦リュートの調律の仕方、習得方法などについて書かれていた。どういう音を出すかという指示もある。これは今のところ、判読可能な最古の楽譜と言っていい。
===私見）この資料はいずこ？
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p.22) 音楽、宇宙、暦の体系を学び、その力について十分に知れば、思いどおりに操ることができると考えられていた。
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[3]「音楽の科学」、フィリップ・ボール、河出書房新社、(2011).
p.90) 西洋音楽の音階に含まれる音程には、半音を含めてすべて、完全５度の移動を繰り返すことで、到達できる（５度圏、サイクル・オブ・フィフス）。
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ピタゴラス音階では、５度圏は円にならず、（らせん）を描くことになる。
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p.98) (１オクターブ)を１２分割してできる半音の幅は、１２乗して(2)になる数字をもとめればよい。
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[4]「しくみから理解する楽典」、坂口博樹、ヤマハ・ミュージックメディア、(2011).
p.108) ピタゴラス音階／古代中国の三分損益法// 完全５度の音程でつくられた音階。
3/2倍をどんどん積み上げていき、ドを基音として並べ（６オクターブ分）、１オクターブに並べ直すと、１２音の半音階ができる。
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(3/2)^12 / 2^6 = 2.027 となり、完全に2.0 にはならない。元の音に近い音に戻ってくる,,,古代人はすでに、この矛盾を知っていた。
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[5]「世界の師匠は十人十色」、若林忠宏、ヤマハ・ミュージックメディア、(2003).
p.25) むしろ底辺で働く者に好意で迎えられるようになれば、階級を越えて、皆から尊敬され、さまざまな場面で助けられ、混沌としたインドで伸び伸びとした時間を過ごすことができる。
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p.87) 津軽三味線は(曲弾き)の演目で、(見せる)ことが目的だから、超絶技巧は見ても凄いと思わせなければ損だが、長唄では客の目は役者の舞に注がれている。ならば、最短距離の賢い奏法で、そつなく弾いた方がいい,,,
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p.109) 彼は僕の生きざまを、ダゴールの詩に出ている(小石男)に例えた。毎日道端の小石を眺めて、何やら、ぶつくさ言っている男を村人は嘲笑した,,,
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p.90) 日本における世界の民族音楽は、学術研究者以外は、音楽の素人が好き勝手に取り組んでいる。学者は基本的に演奏活動はしない。楽器をろくに弾けない人も少なくない。結果、民族音楽を演奏するのは、非学術的な人たちということになるが、多くの場合、洋楽器をろくに弾けない人がやる。
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[6]「アラブ音楽」、サラーフ・アル・マハディ、PASTORALE出版、(1998).
p.61) 微分音／半音よりも小さい音程の存在によって、オリエンタル音楽が西洋音楽の全音階の枠組みを超えていることは、明白な事実である。
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p.89) この楽器は、３本の弦を２６コースに張るので、３オクターブ以上をカバーする。転調にしたがって、微分音を調節する小さな金属片が各コースに付いている。
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p.87) 古典音楽の楽器／もっとも重要なのは、(ウード)あるいは、(リュート)、(バルバト)と呼ばれている楽器,,,
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p.62) 1932年のカイロ会議では、アラブ音楽の表記のためにイランの方式に従い、以下の２種類の記号を採択した。

,,,(記号省略),,,1/4音上げる
,,,(記号省略),,,1/4音下げる

実際にはこの1/4音は可変であり、音楽家はその音楽的要素と耳によって、作曲された曲のマカームに従って、変化の度合を読み取ることができなくてはならない。私自身は個人的には、カイロ会議の微分音の研究結果に満足してはいない。,,,
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[7]「音楽の不思議を解く」、坂口博樹、ヤマハ・ミュージック・メディア、(2010).
p.133) 音程に限らず、クラシック音楽の理論には、(0)が出てこない。拍も小節も(1)から数える。西洋人が(0)を使うようになるより、音楽理論の方がずっと古いから,,,
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p.167) 本来のブルーノートが、その間の微分音（半音の半分の音程をもつ音）だからで、ピアノでは絶対にそこには到達できないのだが、その周りをうろうろすることで、その雰囲気を出している。,,,アラブやペルシャの音楽では、微分音がよく使われ、それは古代ギリシアから伝わった。
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p.169) 東欧各国の民族音楽やロマ（かつてジプシーと呼ばれた）の音楽でも、微分音は使われている。,,,西ローマから、西欧に伝わった音楽だけが、微分音を切り捨てた,,,このことは、(西欧)、(東欧、中近東)を対比して考えると、前者の先進性を表しているのではなく、逆に後進性を象徴している。
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p.187) 柘植元一,,,/世界音楽,,,/地球上に見られる、あらゆる音楽文化を価値づけせずに対等に眺めたとき、その全体を世界音楽というのである。
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[8]「アラブ・ミュージック」、関口義人、東京堂出版、(2008).
p.244) 著者紹介／関口義人／ジプシー・ミュージック、青土社／ロマを知っていますか、解放出版
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p.14) 伝統的なアラブ音楽）微分音程を含む、精緻なマカーム(旋律)体系がある。,,,半音の半音（４分の１音＝中立音程）,,,
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p.226) ロマのミュージシャン／古典音楽を除く、あらゆる部分において、演奏者として地位を確立し、今日に至るまで、インタンブールのナイト・クラブやレストランなどの仕事場を確保している。
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p.227) ロマ／ベリーダンスの歴史と切っても切れない関係,,,/チェンギ(Changis)の(Chang)は竪琴の形をした楽器の意味だが、この語源(チンゲネ)は、(ジプシー)に由来する。
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p.147) ナンシー・アジュラム/Nancy Ajram  ＠to check her in youtube...
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p.217) 軽アラブ音楽を演奏する場合に使用するスケールは、せいぜい２種類,,,／Cのキーであれば、(ミ)と(シ)の音を４分の１低くすればよい。,,,／ブルースやジャズでよく使われているブルーノートとよく似ている。
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p.225) トルコの古典音楽は、あくまで、宮廷を中心に発展した。そして、それらは、一切楽譜を使用されずに作曲され、師から弟子へと受け継がれる徒弟的性格が強く、その多くは、声楽曲だった。
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p.64) 第３章／アラブの楽器と音楽構造／若林忠宏
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p.66) 千夜一夜物語,,,／戦利品として、歌姫、舞姫、音楽を演奏するミュージシャンを連れて帰る,,,／それが宮廷の音楽になることも、なぜか多い。
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p.73) リュートがピレネーを越えて、ヨーロッパに伝わったとき、ヨーロッパ人はなんとかして、自分たちのアイデンティティで違う弾き方をしようとした。
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p.74) リュートとオウドの違い,,,
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p.81) 「音楽大全」、ファーラビー／,,,このフレットについて、細かく記述していて、四分の一音が確定されたのが、けっこう古い時代だということがわかる。
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p.75) フレットのある(リュート)のほうが、近代の楽器だから、フレットのない(オウド)が原始的だと思っている人が意外に多い。／,,,ただし、４分の１音を出すためには、フレットはむしろ邪魔！／ウードに４分の１音のフレットを付けたならば、フレットだらけになる。,,,／トルコに至っては、１度の音程の間に、さらに４つくらいのフレットが必要！フレットだらけになって、男性の指では入らない。,,,／フレットレス(フレットがない)というのは、実は進化の結果とも考えられる。
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p.84) ペルシャ・アラブは、四分の一音なので、１オクターブに２４の音がある。
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私見）goal.../plimpton 322/(2015.08.09)...
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一応、１オクターブに２４ありますが、地方によって、それも高さが違う。／トルコでは、１音を９つに割って(９分の１、９分の８、９分の４、９分の５）の４つは必ず区別,,,
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[9]「アラブの風と音楽」、若林忠宏、ヤマハ・ミュージック・メディア、(2003).
p.31) アラブ音楽／インド音楽が、ほぼ捨てた微分音を重要とし続けている点である。/,,,インド音楽も古代には微分音を持っていて、１オクターブを２２音に分割してから、７音階を得ていたが、皮肉なことに、１オクターブを１２の倍数に割る、アラブ・ペルシャ音楽の影響を受けて以降、微分音理論があいまいになり、西洋音楽の影響を受けた近代、微分音をほとんど捨てて、西洋音楽と似た１２音律になってしまった。
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p.45) だいたいオウドの短い棹に、微分音を含むフレットを付けたら、大人の男の指では、押さえられないほど、フレットの間隔は狭くなってしまうだろう。
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p.68) ヤマハ・ミュージックメディア／世界の師匠は十人十色
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p.64) アラブ音楽理論に関しては、現地の並の教師の教えや原書に学ぶよりも、実は２００年の研究の歴史がある、フランス語文献の方が、はるかに高い水準に達している。
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p.161) 音律に関しては、紀元前に結論がでてしまっている。ピタゴラスの発見したズレ,,,／後はそれをどう、ごまかすかの歴史,,,
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p.112) トルコ人／歯向かっている間は、残忍に弾圧しながらも、一旦従属すれば、その文化を温存させ、美味しいところを我がものにした。/,,,その結果、トルコ古典音楽は、ペルシア音楽、アラブ音楽から中央アジア音楽、コーカサス音楽、西洋クラシック音楽、そして、神秘主義音楽の美味しいところがぎっしりつまっている。
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p.122-122) アルメニア人／ジプシー楽団にように民族で統一された楽団はないようだが、ベリーダンスの踊り手や楽器職人、楽器商、楽譜商の世界では、圧倒的な活躍をみせている。とくにアメリカ合衆国において顕著。
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p.125)街の楽団は、冠婚葬祭などで活躍したが、圧倒的な結束力を持って、音楽市場をほぼ独占したのが、ジプシー楽団＝チンゲネ楽団。
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p.162) (アラブ古典音楽、イラン古典音楽)-> ほぼ４分の１音単位。(トルコ古典音楽)-> ９分の１音単位に、落ち着いた。
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p.163) トルコ、モロッコ、チェニジア、エジプト、シリア、イラクの順に微分音はきつくなる。
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p.196) 楽器に差別がないということは、古典音楽と非古典音楽の境目を不明瞭にしてしまう。あとは理論体系があるかないかである。／,,,古典音楽／１オクターブのすべての半音(アラブ、中近東では、４分の１音などの微分音も)を用いて、順列組み合わせ的に、考えられる音階のすべてを用意し、主音、副主音や細かな音の動きを定めて旋法とする。
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p.198) ペルシア人の理論家がいなかったら、アラブ人だけで同様な理論体系を作ったであろうか？
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[10]「アジア音楽史」、柘植元一・植村幸生、音楽之友社、(1996).
p.179) 古代メソポタミアの音組織に関する、５つの楔形文字タブレット,,,
p.150) 古代メソポタミアのリラ／BC２５００年頃、ウルの王墓,,,
p.14) 音楽考古学
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p.20) どのような音楽であれ、まったくの白紙状態から生まれるはずもなく、それを生み出した人間にとっての過去と何らかのつながりをもつ,,,／過去との断絶さえ過去との連関の一形式である,,,
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p.148) メソポタミアでは、楽譜が存在し、音組織や調弦法の理論が作り上げられていた,,,
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p.17) 総論／アジアの音楽文献の中では、一般的に、音楽思想、音楽理論(中でも音律論)に関するものが非常に多く,,,
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p.145) 古代バビロニア時代(BC1800 - 1600)／シュメール語の人間創造神話を刻んだ粘土板,,,楽譜の一種と考えられる,,,／,,,音組織とリラの調弦法に関するBC1000年紀の記述あり、解読の結果、それが、５度連鎖によって得られる７音音階に基づいていたことが判明,,,
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p.284) ２４等分音階
p.176) ヴァズィーリー／１２平均律を下敷きにして、イランの伝統音楽の理論的整理を試み、種々の中立音程を四分の一音を単位として、新しく体系づけた。
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p.34-35) 中国／戦国時代初期(BC433頃)／６４個で一組を成す青銅器の編鐘,,,一つの鐘が２つの音高を発し、約３オクターブにわたって、完全な半音を出せる、精緻な古代の楽器,,,
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p.171) マカームは２４平均律に基づいていると主張した,,,
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[11]「スロー・ミュージックで行こう」、若林忠宏、岩波書店、(2005).
p.158) 彼らやぼくが、緊張しない理由／演奏の出来不出来の責任の半分を聴衆に委ねている,,,
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p.3) もちろん、花柳界のようなものは、古代からあったので,,,
p.17) 音楽演奏で生活するという意味での、プロ・ミュージシャンなら、古代メソポタミア〜古代エジプト期に既に存在した。
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p.42) インド古典音楽／西アジア音楽の影響を受けた北インド古典音楽と、ヒンドゥー寺院音楽の伝統を引く南インド古典音楽がある。
p.44) 北インド音楽のもう一方の精神性の原点である、西アジアのイスラム教文化,,,
p.170)南インド古典音楽は、神々のヴァィブレイションである律動に、人間の喜怒哀楽を乗せるべからずと言って、一曲を通して、テンポが変わらない。
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p.171) 北インド古典音楽／ヒンドゥー教の起承転結、輪廻のようなリズム・サイクルに加えて、西アジア騎馬民族の序破急のノリ、ペルシア・アラブ音楽の変幻自在な要素、即興性が加わっているので、同じインド音楽とは思えないほど、南インド古典音楽とは異なる,,,
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p.49) 有名なシタール奏者、ラヴィ・シャンカル氏／ビートルズの師匠でもある。
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p.164) カラダに優しくない民族楽器／民族楽器の多くが、音本意なので、(弾きにくい)、(習得しにくい)、(長年弾いていると、体に支障を来す)、など人間に犠牲を払わせるものが、非常に多い。
p.165) おかげで、長年連れ添った相棒でも、高齢になると、シタール奏者の方が先に体を壊すか、腕が衰えるか、先に亡くなってしまう。
p.165) アラブ古典音楽の弦楽器(オウド)／パラボラ型の前に音が出る構造の胴のため、演奏家には、左右の手が見えないし、一生自分のよい生音を聴くことができない。
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p.58) インド音楽、否音楽全てにいえることだが、寸分違わず弾かねばならない部分と、自分の言葉に置き換えなくてはならない部分の見分け,,,
p.174) アドリブをすべき部分と、してはならない部分,,,
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p.170) 石拾い／タゴールの詩の中に現れる、世間の関心が向かないものを探求している変人に、僕が似ているからだ。
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[12]「ワールドミュージック、世界音楽入門」、フィリップ・V・ボールマン、音楽之友社、(2006).
p.109) SF映画／フィフス・エレメント／追跡劇の場面のサウンド,,,
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p.227) わが国でも、(民族音楽)の語は、(民族楽器)の語とともに、平成１４年以来、文部科学省の学習指導要領から姿を消している。
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p.226) ethnomusicology (音楽民俗学)、ethnomusiclogist (音楽民俗学者),,,
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[13]「世界の民族音楽(4)」、若林忠宏、ポプラ社、(2003).
副題：アラブとアフリカの音楽
若林忠宏 (民族音楽研究演奏家)
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[14]「ジプシー、Gypsy」、相沢好則、新地書房、(1989).
副題：受難漂泊の自然児
p.6) ジプシーは今日のことは今日だけ考える。今日一日を行きつくす。昨日のことに、くよくよしない。明日のことを思いわずらわない。
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p.90) だが、かれらは必要以上には、自然の産物をとらない。要するに、自然の王者ジプシーは、自然の循環(サイクル)を乱さないように注意する。
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私見）アイヌも同じ流れか？,,,
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p.115) ジプシーは、なるほど優れた音楽的才能をもっている。だが、これは一般国民の音楽上の遺産を上手に変形したのである。
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p.86) ジプシー(gypsy),,,エジプト人が訛ったもので、イギリス人は、ジプシーはエジプトからきたとみられていた。,,,／ジプシーは、ロム(rom、単数)、ロマ(roma、複数)。ヒンズー語のドム(dom)と同じで、人間という意味。
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p.119) ジプシーと土地の農民との結びつきは、東欧各国にみられるのであって、ハンガリーだけのものではない。農民の飾り気のない、ちょっとした曲を材料にして、立派な曲にしあげて演奏し、人々を喜ばせる。
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p.121) 音楽だけでなく、物語や民話についても、ジプシーは、土地の人々のそれを、それなりに消化したうえで、変形する才能をもっている。
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p.124) ジプシーといっても、一般のジプシーでなく、スペン南部のアンダルシア地方に住むジプシーの芸能が、フラメンコの土台となっている。
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p.116) ジプシー／教育、音楽教育をしていない,,,楽譜が読めるわけでもない。それなのに、音楽がよくできる。あるメロディーを二度三度聞くと覚えてしまう。
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p.118) ジプシーは、みずから流浪し、暮らす土地の古い歌や曲を、かれらなりにアレンジするのであろう。西洋音楽がジプシーの演奏家の手にかかると、べつな響きをあたえる。それは一種独特な情緒的なものに変わるのだろう。
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p.130) ジプシーは過去のことにくよくよせず、未来のことについて思いわずらわない。そしてただ現在を力強く生き抜く,,,／その日に働いて稼いだものは、その日に消費する、しかも、大事な事は自分の仲間だけで消費しない事だ。空腹で飛び込んできた他人にも与えるのである。,,,／今日消費しても、明日はまた手に入れることができる。／,,,ジプシーは本気でそう思う。
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[15]「ジプシーと呼ばれた人々」、加賀美雅弘、学文社、(2005).
副題：東ヨーロッパ・ロマ民族の過去と現在
p.3) ロマの語源となる(ロム、rom)は、彼らの言葉で(１人の人間)を意味する。／,,,インド北西部のパンジャブ地方を起源地として、８世紀〜１２世紀にかけて、西に移動。
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p.7) 1971年、ようやく、世界ロマ会議／,,,社会的地位の改善。
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p.33) いわゆる、ジプシー音楽やロマ音楽というジャンルにおいて、ヴァイオリンをはじめ、楽団を組織して、独特の音色と演奏技術を披露する、楽師のイメージである。
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p.341) ロマは、ヨーロッパのほとんどすべての国に居住し、総数８００万人以上、国家をもたず、しかも、数百年にわたって激しい差別と迫害を受けてきた。／,,,ロマがEU域内における最大の少数民族集団になることを,,,意味していた。
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p.251) ロマ音楽家の演奏は楽譜を必要とせず、装飾華美な即興音楽を中心としていたこと,,,
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p.262) 音楽家として成功しているロマは例外的なケースであって、現実の世界では、むしろ彼が、社会経済的に、非常にハンディを負った生活を強いられていることについては、無知であることが多い。
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p.264) ジプシー音楽家は、１９世紀末から２０世紀初頭には、一種のハンガリーの有名ブランド商品になり、全世界へと輸出された。しかし、ジプシー音楽をハンガリー音楽と同一視する態度は、当時大きな論争を引き起こした。
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[16]「図解　ジプシー」、関口義人、河出書房新社、(2015).
p.8) AC7〜１０世紀、ジプシーの先祖／北部インド、パンジャーブの砂漠地域,,,
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p.55) ジプシーと音楽とのつながりは古く,,,
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p.97) イベリア半島／アラブ文化とアンダルシアの風土、それに流れ込んだ、ジプシーたちの情念が渾然一体となった、総合芸術・芸能であるフラメンコが発展した。
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p.99) トルコは、エジプトと並ぶ、オリエンタルダンス(ベリーダンスと知られる)の原郷の一つと言われる。そもそも、オスマン宮廷の余興だった、この踊りは、次第にトルコのジプシーダンスとして、知られるようになったが、トルコのジプシー音楽家は、ベリーダンスのバックで、引っぱりだこになり,,,
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end.

The Plimpton 322 Collection (2-1): Rhythm table?

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P322 (Plimpton 322 略記）の第I欄は、(1.98〜1.38)の数値だとすれば、１オクターブ(octave)での弦長の比率を(1〜2)にするとの関連が強いとひらめいた(2015, summer)。

それも、１２平均律も包含するか、アラブ音楽で使われる微分音、半音のさらに半分、四分の一音（四分音）、つまり、２４平均律にかなり近い。

又、P322 No.3のみは、さらに半分（八分音、４８平均律？）に位置するようだ。
(near 2^(45/48)).

ただ、P322は２４平均律としても、後半の半分は欠落していることになるが。
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音律の比に近いといっても、ズバリではなく、あるロジックがあるようだ。
当面のアプローチ結果を、Season2/Detail に示す予定。
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今のところ、P322は音律の比のテーブルで、ハープ(harp)、リラ(Lyra)、オウド(oud)などの弦を調整するためのものではないかとみている、、、が。
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例）
１２平均律：2^(n/12)
２４平均律：2^(n/24)
４８平均律：2^(n/48)
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P322 No.	P322 第I欄(10進数)	24平均律 2^(n/24)	48平均律 2^(n/48)
1	1.983...	(24/24) 2.0
2	1.949...	(23/24) 1.943...
3	1.918...		(45/48) 1.9152...
4	1.886...	(22/24) 1.8877...
5	1.815...	(21/24) 1.834...
6	1.785...	(20/24) 1.7817...

end.

The Plimpton 322 Collection (9): For What?

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本粘土板の作成目的関連の記載内容を列記する。
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[1]「ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010).
p.21) 古代バビロニアにおいて、ピタゴラスの定理を理解した上で、斜辺と他の一辺との間の角が３０°〜４５°の間の様々な角度における底辺と斜辺の関係を計算したもの。
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[2]「数学史の小窓」、中村滋、日本評論社、(2015).
p.26) 驚くべきことに、大小の三角形を取り混ぜて、１つの鋭角が約４５°から３１°までほぼ等間隔で減少するように作られていた。
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室井さんは,,,数表の上に書かれた言葉から、バビロニアの人たちが「普通の因数」と読んだ 2,3,5 という素数をうまく使って、この表を作成したことを明らかにした。
,,,この表の角度を等差数列にすること,,,
,,,この粘土板が (1 + tan(x)^2) の表であることを宣言した。,,,
,,,これによって,,,粘土板の解釈競争は終わりました。,,,
,,,室井さんおめでとう！
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参考文献, p.32)：いずこにありや？: not checked yet...
Kazuo MUROI: Mathematics Hidden Behind the Practical Formulae of Babylonian Geometry, Wiener Offene Orientalistik, Band 6: "The Empirical Dimension of Ancient Near Eastern Studies", LIT, (2011); pp.149-157.
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[3]「数学史、数学５０００年の歩み」、中村滋・室井和男、共立出版、(2014).
本の帯）「プリンプトン３２２」の完全解読の結果を初公刊！
p.67-71) 概要説明は、[2]で完結。
p.68) 第I欄の１５個の数値は、
　　　1 + tan(x)^2  (x=45°,44°,43°,....31°)
に対応する近似値であり、ほぼ等差数列のように減少している。
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私見）あくまでも、「近似値」としています。
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[4]「ピタゴラスの定理」、E・マオール、岩波書店、(2008).
p.15) 第４列の項目の平方根 - すなわち比 c/a=cosec A - を計算し、対応する角Aを求めると、Aが45°の少し上から58°まで着実に増加している。この原文の作者はピタゴラスの３数を求めることに興味があっただけでなく、対応する直角三角形の比 c/a を定めることにも興味があったようにみえる。
,,,プリンプトン322は歴史上初の三角関数表として後世に伝えられるであろう。
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[5]「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011).
p.156-157) これらのデータが誰がどのような目的で作成したかはよくわからないが、大きさのまちまちなpPTにつけられた番号が、最終欄にあるこの角度の順番になっていることは否定しようもない事実である。
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私見）角度は、No.1(45.24°)〜No.14(56.74°)まであり、[4]のパターンと同じか？
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[6] 「古代の精密科学」、O.ノイゲバウアー、恒星社厚生閣、(S59/1984).
p.31-35) 第２章(20)/
p.34) ,,,I欄の (d/l)^2 の値はほとんど直線的に減少しており、このことは比 (d/l) そのものについては、もっとはっきりいえる。,,,
,,,このテクストを作った古代の数学者たちはピタゴラス数の３つの数を決定することだけではなく、その比 (d/l) にも関心をもっていたようだ。,,,
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p.35) ,,,事実はどうであれ、当のテクストは古代バビロニア数学の最も注目すべき文書の一つである。,,,
第２章(21)/
,,,偶然に残った表がバビロニア数学の到達した知識の限界そのものを示しているとしたら、これはむしろ驚くべきことであろう。,,,
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[7]「世界を変えた１７の方程式」、イアン・スチュアート、SB Creative, (2013).
p.8) ,,,1945年に科学史家のオットー・ノイゲバウアーとエイブラハム・サックスは、,,,
,,,４つの明らかな間違いを訂正すれは、,,,
,,,この表はピタゴラスの３つ組数を記しているように思える。,,,
,,,プリンプトン322がピタゴラスの３つ組数と何か関係があると絶対確実に言えるわけではなく、もし関係があったとしても、単に、面積を簡単に計算できるような三角形を便宜的に列挙しただけなのかもしれない。そしておそらく測量のために、それらを組み合わせて他の三角形や図形の面積のよい近似値を求めていたのかもしれない。
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[8]Plimpton 322 の表について、浅井照明、奈良教育大学.
http://hdl.handle.net/10105/9014　英語 (2012/11/30 released)
http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/pythagorean2/plimpton322.htm　日本語 (2014/10/22 updated)
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おおまかに言えば、古代バビロニア人は多くの可能性の中から、ピタゴラス数を選択したのではなく、可能性のある組をすべて選んだのである。この論文で明らかになった表の最も不思議な点（角度４５°、３０°）は単なる偶然であることが判明した。
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私見）この粘土板のもとになる知識をもった者は誰なのか？他文明からの漂流者？／ノアの箱船のように、地球の文明が一旦リセットされる前の者？／いずれにしても知識はあるが、道具は全て失われて、現時点で使えるものを出来る限り使用しようとしたように思える、、、そして半永久的に保存する意図があったのか？、、、
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 興味のない人には、ピタゴラス３数の数表としか見えず、それがどうしたのレベルで終わってしまうが、全く別の視点から見ると、かなり意図されて作られた数表の断片であると見えてきた（俄然、やる気のモチベーションがアップしてきた。近似値ではないと思える）。ピタゴラスの別の成果からのアプローチである。DVDではないが、セカンドシーズンで、ご紹介します。
-----------------
end.

The Plimpton 322 Collection (0): index

[Season 1]
    (1) Beginning...
　　　これは何のためのもの？　

    (2) O.Neugebauer
         state=not finished. (TODO) existed...
　　　やはり、本家の説明を参照しましょう！　

    (3) List: col (2,3,4)
         オリジナルは、６０進数の数表で、１０進数の一覧も示す。

    (4) List (a,b,c) + (m,n)
         ピタゴラスの三つ組を生成する(m,n)を示す。        

    (5) List: col (1)

    (6) making a Triangle by a string.
　　　state=not finished. (TODO) existed...
　　　リアルな三角定規をつくろう！

    (9) Ending...: For What?
         角度（４５°、３０°）の範囲なのか？/or/単なるピタゴラスの３数の一覧か？
    (9-1) For What? (2)
         角度(b/a, a/b)に着目している。
---
[Season 2]
    (2-1) Rhythm table?
          アラブ音楽の微分音テーブルと見ている、、、

    (2-2) Details (Approach.20151004.around)
       - Details / Operation (touched until Step.4)      

       - P322(1), Detail
       - P322(2), Detail
       - P322(3), Detail
       - P322(4), Detail
       - P322(5), Detail
       - P322(6), Detail (touched, 2016/09/14,2016/10/04)      
       - P322(7), Detail
       - P322(8), Detail
       - P322(9), Detail
       - P322(10), Detail
       - P322(11), Detail
       - P322(12), Detail
       - P322(13), Detail
       - P322(14), Detail
       - P322(15), Detail
@@@
       - P322(16), Detail
       - P322(17), Detail
       - P322(18), Detail
       - P322(19), Detail
       - P322(20), Detail
       - P322(21), Detail
       - P322(22), Detail
       - P322(23), Detail
       - P322(24), Detail
 @@@

    (2-9) Rhythm Tips
---
[Season 3]
    TODO

---
[Appendix.1] manpo (Pedometer)
    P322 : method to watch the future, apply(0)/manpo
    ---
     Pattern A : Average of next month below one of present month
     Pattern B : Average of next month above one of present month
     Pattern C : Average of next month almost near one of present month
     Pattern D : Average of next month above upper of present month
     Pattern E : Average of next month below lower of present month
    ---
    P322 : method, apply(1-1)/manpo, Pattern A
    P322 : method, apply(1-2)/manpo, Pattern B
    P322 : method, apply(1-3)/manpo, Pattern C
    P322 : method, apply(1-4)/manpo, Pattern D
---
[Appendix.2] ondo (Outside temperature near here)
    P322 : method, apply(2-0)/ondo
    P322 : method, apply(2-0-1)/ondo, Tuning trial
    P322 : method, apply(2-1)/ondo, Pattern A      
    P322 : method, apply(2-2)/ondo, Pattern B
    P322 : method, apply(2-3)/ondo, Pattern C
    P322 : method, apply(2-4)/ondo, Pattern D
---
end.

The Plimpton 322 Collection (2): O.Neugebauer

[to index]
◎「古代の精密科学」、O.ノイゲバウアー、恒星社厚生閣、(S59/02/10).
から、プリンプトン３２２関連を抜粋する。
(関連: p.25 - p.46/第２章 バビロニアの数学)
---
[1]口絵７, p.32) 左から、第I欄、第II欄、第III欄、第IV欄とする。

---
[2]p.32-p.33) 解読概要は、

欄	タイトル	内容	備考
I	対角線という言葉を含むが、？？？	[1][ ]の数は、復元されたもの。 [2]先頭、４行目以下の行の[1]は、はっきりわかるように半分残っている。 [3]１４行目の先頭:1は、完全に残っている。 [4](d/L)^2	[1]私見)先頭の[1]に関しては、よくわかりません。 [2](b/L)、先頭行=45°、最終行=(30°/or/60°)
II	幅の解数 (=b)	[1](b,d)は、ピタゴラス数。 [2]d^2 = b^2 + L^2	解数=平方根とか類似の計算に関する術語か？
III	対角線の解数 (=d)
IV	その名称	単なる「続き番号」を意味する。 第１番目から第１５番目の行数。	この欄には数学的な意味はない。

---
[3]p.32-p.33) 解読詳細は、
※書き換えに当たっては、必要な箇所へゼロを書き加えたが、これはテキストそのものには示されていない。

第I欄 (d/L)^2	第II欄 (=b)	第III欄 (=d)	第IV欄
[1,59,0,] 15	1,59	2,49	1
[1,56,56,] 58,14,50,6,15	56,7	3,12,1	2
[1,55,7,] 41,15,33,45	1,16,41	1,50,49	3
[1,] 5 [,3,1] 0,29,32,52,16	3,31,49	5,9,1	4
[1,] 48,54,1,40	1,5	1,37	5
[1,] 47,6,41,40	5,19	8,1	6
[1,] 43,11,56,28,26,40	38,11	59,1	7
[1,] 41,33,59,3,45	13,19	20,49	8
[1,] 38,33,36,36	9,1	12,49	9
1,35,10,2,28,27,24,26,40	1,22,41	2,16,1	10
1,33,45	45	1,15	11
1,29,21,54,2,15	27,59	48,49	12
[1,] 27,0,3,45	7,21,1	4,49	13
1,25,48,51,35,6,40	29,31	53,49	14
[1,] 23,13,46,40	56	53	15

---
[4]検算：[3]を１０進数に変換して行う。

IV	b	L =sqrt(d^2-b^2)	d	ピタゴラス３数  d^2=b^2+L^2
1	119	120	169	OK
2	3367	11018.01...	11521	NG
3	4601	4800	6649	OK
4	12709	13500	18541	OK
5	65	72	97	OK
6	319	360	481	OK
7	2291	2700	3541	OK
8	799	960	1249	OK
9	541	546.516...	769	NG
10	4961	6480	8161	OK
11	45	60	75	OK
12	1679	2400	2929	OK
13	26461	sqrt(-xxx)	289	NG
14	1771	2700	3229	OK
15	56	sqrt(-327)	53	NG

---
[5]p.33) このテキストにはいくつかの誤りがある。
[a]まず、[4]でピタゴラス３数が成立していない部分を[3]で修正する。
===
[No.2]: 説明しがたい誤りがある。
p.44) ad 20) R.J.Gillingsの示唆あり。

修正	第IV欄	第II欄 (=b) (60)	第III欄 (=d) (60)	b (10)	L =sqrt(d^2-b^2) (10)	d (10)	ピタゴラス３数  d^2=b^2+L^2
前	2	56,7	3,12,1	3367	11018.01...	11521	NG
後	2	56,7	1,20,25	3367	3456	4825	OK

===
[No.9]: 書記の単純なミスである。

修正	第IV欄	第II欄 (=b) (60)	第III欄 (=d) (60)	b (10)	L =sqrt(d^2-b^2) (10)	d (10)	ピタゴラス３数  d^2=b^2+L^2
前	9	9,1	12,49	541	546.516...	769	NG:
後	9	8,1	12,49	481	600	769	OK

===
[No.13]: 書記は(2,41)の代わりに、(2,41)^2=(7,12,1)を書いたのだ。
II.13=(7,21,1) -> (7,12,1): ミスプリ？

修正	第IV欄	第II欄 (=b) (60)	第III欄 (=d) (60)	b (10)	L =sqrt(d^2-b^2) (10)	d (10)	ピタゴラス３数  d^2=b^2+L^2
前	13	7,21,1	4,49	26461	sqrt(-xxx)	289	NG
後	13	7,12,1	4,49	25921	sqrt(-xxx)	289	NG
後	13	2,41	4,49	161	240	289	OK

===
 [No.15]: III.15=2*(53)=(1,46)

修正	第IV欄	第II欄 (=b) (60)	第III欄 (=d) (60)	b (10)	L =sqrt(d^2-b^2) (10)	d (10)	ピタゴラス３数  d^2=b^2+L^2
前	15	56	53	56	sqrt(-327)	53	NG
後	15	56	1,46	56	90	106	OK

---
[6] [5]の訂正を[4]に反映し、[3]の第I欄を後半の検証用にマージする。

IV	I欄	b	L	d
1	[1,59,0,] 15	119	120	169
2	[1,56,56,] 58,14,50,6,15	3367	3456	4825
3	[1,55,7,] 41,15,33,45	4601	4800	6649
4	[1,] 5 [,3,1] 0,29,32,52,16	12709	13500	18541
5	[1,] 48,54,1,40	65	72	97
6	[1,] 47,6,41,40	319	360	481
7	[1,] 43,11,56,28,26,40	2291	2700	3541
8	[1,] 41,33,59,3,45	799	960	1249
9	[1,] 38,33,36,36	481	600	769
10	1,35,10,2,28,27,24,26,40	4961	6480	8161
11	1,33,45	45	60	75
12	1,29,21,54,2,15	1679	2400	2929
13	[1,] 27,0,3,45	161	240	289
14	1,25,48,51,35,6,40	1771	2700	3229
15	[1,] 23,13,46,40	56	90	106

---
[7]



@@@@@@@(TODO)
第I欄の検証は、
@@@
P322(14).col.1, unicode cuneiform writing...

@@@
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html
画像は、P322(14), P322(15)を抜き出している。
aaa

やはり、P322(14)先頭の(1)は見えないが、(1)があるとして、続行、、、
@@@

p.33-p.34) 第I欄で数が単調に減少することは、、、
,,,このことは比(d/L)そのものについてはもっとはっきりいえる(図３)。
このようにしてみると、このテクストを作った古代の数学者たちはピタゴラス数の３つの数を決定するだけでなく、その比(d/L) にも関心をもっていたようだ。
@@@@@@@(TODO)

end.

The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n)

[to index]
---
[1]The Plimpton 322 Collection (3) から１０進数の一覧を整理すると、

No.	a/or/b	b/or/a	c	memos
1	120	119	169	gcd=1
2	3456	3367	4825	gcd=1
3	4800	4601	6649	gcd=1
4	13500	12709	18541	gcd=1
5	72	65	97	gcd=1
6	360	319	481	gcd=1
7	2700	2291	3541	gcd=1
8	960	799	1249	gcd=1
9	600	481	769	gcd=1
10	6480	4961	8161	gcd=1
11	60	45	75	gcd=15
11	3600	2700	4500	gcd=900
11	4	3	5	gcd=1
12	2400	1679	2929	gcd=1
13	240	161	289	gcd=1
14	2700	1771	3229	gcd=1
15	90	56	106	gcd=2
15	45	28	53	gcd=1

---
[2]ピタゴラスの三つ組を大量生産する方法として、以下が知られている。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
偶奇性が異なり、互いに素な２つの整数（但し、m > n > 0)から、
(a, b, c) = (m^2 - n^2,  2mn,  m^2+n^2)
という既約なピタゴラスの三角形ができる。
---
参考）「三角形の七不思議」、細谷治夫、講談社、(2013) /p.66
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[3][1]の(a, b, c)から、[2]の(m,n)を求めるには、
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 m = sqrt((c + a) / 2),   n = sqrt((c - a) / 2).
---
No.4の計算例あり。
m = sqrt((18541 + 12709)/2) = 125,  n = sqrt((18541 - 12709)/2) = 54.
---
参考）「ピラゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011) /p.70-71
同上、p.157/表9-1 プリンプトン322の粘土板にあるpPTの３辺と角度で、(m, n)値検証。 =>No.15は、同一覧から除外されている？！
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[4][1]の１５件に対して、(m, n)を求めると、
a < b < c とすると、

No.	a/or/b (1)	b/or/a (2)	c (3)	gcd	m (3.vs.2)	n (3.vs.2)	memos 2	m (3.vs.1)	n (3.vs.1)	memos 3
1	120	119	169	1	12	5		sqrt(289/2)	sqrt(49/2)
2	3456	3367	4825	1	64	27		sqrt(8281/2)	sqrt(1369/2)
3	4800	4601	6649	1	75	32		sqrt(11449/2)	sqrt(1849/2)
4	13500	12709	18541	1	125	54		sqrt(32041/2)	sqrt(5041/2)
5	72	65	97	1	9	4		sqrt(169/2)	sqrt(25/2)
6	360	319	481	1	20	9		sqrt(841/2)	sqrt(121/2)
7	2700	2291	3541	1	54	25		sqrt(6241/2)	sqrt(841/2)
8	960	799	1249	1	32	15		sqrt(2209/2)	sqrt(289/2)
9	600	481	769	1	25	12		sqrt(1369/2)	sqrt(169/2)
10	6480	4961	8161	1	81	40		sqrt(14641/2)	sqrt(1681/2)
11	60	45	75	15	sqrt(60) or 1/15->2	sqrt(15) or 1/15->1		sqrt(135/2)	sqrt(15/2)
11	3600	2700	4500	900	60 ,1/30->2 or 1/900->2	30 ,1/30->1 or 1/900->1		45*sqrt(2)	15*sqrt(2)
11	4	3	5	1	2	1		sqrt(9/2)	sqrt(1/2)
12	2400	1679	2929	1	48	25		sqrt(5329/2)	sqrt(529/2)
13	240	161	289	1	15	8		sqrt(529/2)	sqrt(49/2)
14	2700	1771	3229	1	50	27		sqrt(5929/2)	sqrt(529/2)
15	90	56	106	2	9	5		sqrt(98)	sqrt(8)
15	45	28	53	1	sqrt(81/2)	sqrt(25/2)		7	2

===========================
重複する No.11(gcd=1, 15, 900)と No.15(gcd=1, 2)をどうするか？、、、
===========================
gcd=1にこだわらないと言うか、(a,b,c)から逆算して、(m,n)を求めているが、元は(m,n)からスタートして、(a,b,c)を生成する流れと思われるので、素直に/or/統一性を求めるなら、(3.vs.2)の(m,n)を使用したい。
---
又、No.11に関しては、元ネタ=1で、これは、当時の６０進数表記から、(1, 60, 3600,...)のいずれかなのかの区別がつかない。
例）

10進数	60進数
1	1
60	1,0
3600	1,0,0

参考）「バビロニアの数学」、室井和男、東京大学出版、(2000).
p.18) 古バビロニア時代には零の記号はなく空位は数字の間隔を空けて示した。また、小数点を示す記号もなかったので、数字の読み取りは何よりも前後の文脈に頼らなければならなかった。
---

selected	a/or/b 60進数	b/or/a 60進数	c 60進数	３組 10進数
X	1	45	1,15	(1, 45, 75)
X	1,0	45	1,15	(60, 45, 75)
O	1,0,0	45,0	1,15,0	(3600, 2700, 4500)

オリジナル的には、上表の３番目であると思うが、gcd=900から、gcd=1とした(4, 3, 5)の(m,n)=(2,1)を採用する。
---
参考）「ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010),
p.62 - p.63 : No.11 = (3600, 2700, 4500)とみなす。
=============
No.15で、(a,b)を入れ替えると、gcd=1でも、(m,n)が計算できるが、(m,n)(3.vs.2)の流れを崩すため、gcd=2を採用する。
=============
最終的な(a,b,c)は、以下。

No.	b	a	c	gcd	m	n	memos
1	120	119	169	1	12	5
2	3456	3367	4825	1	64	27
3	4800	4601	6649	1	75	32
4	13500	12709	18541	1	125	54
5	72	65	97	1	9	4
6	360	319	481	1	20	9
7	2700	2291	3541	1	54	25
8	960	799	1249	1	32	15
9	600	481	769	1	25	12
10	6480	4961	8161	1	81	40
11	4	3	5	1	2	1
12	2400	1679	2929	1	48	25
13	240	161	289	1	15	8
14	2700	1771	3229	1	50	27
15	90	56	106	2	9	5

---
(m,n), m > n でソートすると、

No.	b	a	c	gcd	n	m (>n)	round( m/n;3)
11	4	3	5	1	1	2	2.000
5	72	65	97	1	4	9	2.250
15	90	56	106	2	5	9	1.800
1	120	119	169	1	5	12	2.400
13	240	161	289	1	8	15	1.875
6	360	319	481	1	9	20	2.222
9	600	481	769	1	12	25	2.083
8	960	799	1249	1	15	32	2.133
12	2400	1679	2929	1	25	48	1.920
7	2700	2291	3541	1	25	54	2.160
14	2700	1771	3229	1	27	50	1.851
2	3456	3367	4825	1	27	64	2.370
3	4800	4601	6649	1	32	75	2.343
10	6480	4961	8161	1	40	81	2.025
4	13500	12709	18541	1	54	125	2.314

(1<= n < 60)の範囲にあり、
1.8x < (m / n) < 2.4x -> (1 + sqrt(0.64?)) < (m / n) < (1 + sqrt(2))か？
---
◎nを６０までの範囲で、ピタゴラス３数を生成し、その中で、プリンプトン３２２の１５行を選択する...ある条件があったか、、、？
=============
参考)プリンプトン 322 の表に関して
http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/pythagorean2/plimpton322.htm
「...プリンプトン 322 の表では q はすべて一桁の 60 進数なので、...」
=============
end.

The Plimpton 322 Collection (3): List: col (2,3,4)

[to index]
結局、「ピタゴラスの三つ組」問題と判断する。
^^^
手元にある資料から、抜粋。※[n]は資料番号に一致。
^^^
[1]「ファン・デル・ヴェルデン、古代文明の数学」日本評論社、(2006)
p.4)ノイゲバウアーとザックスが修正した、１５組の三つ組(x,y,z)は以下。
---
注１）(60):60進数、(10):10進数表記。
注２）[1]p.4には、(No.)、10進数表記はなし。

No. [5]第4列, 行数 [9]IV欄	[1]x(60) [3]b [4]none [5]第5列, 高さh [6]l, d^2=b^2+l^2 [7]none [9]l(n)欄	[1]y(60) [3]a [4]b [5,6,7]第2列, 幅b [9]II欄	[1]z(60) [3]c [4]c [5,6,7]第3列, 対角線d [9]III欄
1	2,0	1,59	2,49
2	57,36	56,7	[1,3,5,7,9]1,20,25->O [4,6]3,12,1->X
3	1,20,0	1,16,41	1,50,49
4	3,45,0	3,31,49	5,9,1
5	1,12	1,5	1,37
6	6,0	5,19	8,1
7	45,0	38,11	59,1
8	[1]16,1->X [3,5,6,9]16,0->O	13,19	20,49
9	10,0	[1,3,5,7,9]8,1->O [4,6]9,1->X	[1]12,40->X [3,4,5,6,7,9]12,49->O
10	1,48,0	1,22,41	2,16,1
11	1,0	45	[1,3,4,6,7,9]1,15->O [5]1,15,0->X
12	40,0	27,59	48,49
13	4,0	[1,3,5,7,9]2,41->O [4,6]7,12,1->X	4,49
14	45,0	29,31	53,49
15	[*!=9]1,30 [9]45	[*!=9]56 [9]28	[1,3,5,7]1,46->O [4,6]53->X [9]53->O

No.	[*]x(10) [2,3]b [5]h [6]l [7]a [8]Y	[*]y(10) [2,3]a [5]b [6]b [7]b [8]X	[*]z(10) [2,3]c [5]d [6]d [7]c [8]Z	cal:result [1,8]x^2+y^2=z^2 [2,3,7]a^2+b^2=c^2 [4] [5]h^2+b^2=d^2 [6]l^2+b^2=d^2
1	120	119	169	ok, gcd=1
2	3456	3367	[1,2,3,5,7,8]4825->O [4,6]11521->X	[1,2,3,5,7,8]ok,gcd=1 [4,6]NG
3	4800	4601	6649	ok, gcd=1
4	13500	12709	18541	ok, gcd=1
5	72	65	97	ok, gcd=1
6	360	319	481	ok, gcd=1
7	2700	2291	3541	ok, gcd=1
8	[1]961->X [2,3,5,6,7,8]960->O	799	1249	[1]NG [2,3,5,6,7,8]ok, gcd=1
9	600	[1,2,3,5,7]481->O [4,6]541->X	[1]760->X [2,3,4,5,6,7]769->O	[1,4,6]NG [2,3,5,7]ok, gcd=1
10	6480	4961	8161	ok, gcd=1
11	[*!=8]60  [8]3600	[*!=8]45 [8]2700	[1,2,3,4,6,7]75->O [5]4500->X [8]4500->O	[1,2,3,4,6,7]ok, gcd=15 [5]NG [8]ok, gcd=900
12	2400	1679	2929	ok, gcd=1
13	240	[1,2,3,5,7,8]161->O [4,6]25921->X	289	[1,2,3,5,7,8]ok, gcd=1 [4,6]NG
14	2700	1771	3229	ok, gcd=1
15	[*!=9]90 [9]45	[*!=9]56 [9]28	[1,3,5,7,8]106->O [4,6]53->X [9]53->O	[1,3,5,7,8]ok, gcd=2 [4,6]NG [9]ok, gcd=1

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上記の10進数表記は、
[2]「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011)、p.157
の１４行と比較。
x(10)=b欄:{No.8=not same?}. [2]=ok. [1]x(60)=16,1->16.0=[3]:same.
y(10)=a欄:same.
z(10)=c欄:{No.9=not same?}. [2]=ok, [1]z(60)=12,40->12,49=[3]:same.
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[3]「ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010)
p.11/第２表：６０進数一覧、１５行
p.12/第３表：１０進数一覧、１５行
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[4]「ピタゴラスの定理」、E・マオール、岩波書店、(2008)
p.13/表1.1：プリンプトン322. ※原文を現代の表記で再現したもの。
p.13/No.9は、b欄：(9,1)->(8,1)：粘土板作成：誤植？
p.14/No,13は、b欄：(7,21,1)=25921(10)->sqrt(25921)=161. 平方根忘れ。
p.15/No.15は、c欄：(53)->(1,46). 53*2=106=(1,46): 単なる誤り。
p.17/No.2は、c欄：(3,12,1)->(1,20,25)であるが、誤りの説明はまだなし。
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[5]「非ヨーロッパ起源の数学」、ジョージ・G・ジョーゼフ、講談社、(1996)
p.164/表4-3 プリンプトン書板の判読、60進数表記のみ。
p.167/表4-4 プリンプトン書板からの最初の三つのピタゴラス三つ組数の生成(No.1,2,3)、１０進数(h,b,d)
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逆順になったが、pendingの[ The Plimpton 322 Collection (2)]で言及予定であったが、
[6]「古代の精密科学」、O.ノイゲバウアー、恒星社厚生閣、(S59)、
p.32-33/プリンプトン322の解読結果.
p.33/No.2:説明しがたい誤り。p.44/ad20) 誤り内容として、R.J.Gillingsの示唆を言及している。
p.33/No.9: same as [4].
p.33/No.13: same as [4].
p.33/No.15: same as [4].
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 [7]web : 「バビロンの粘土板 Plimpton 322」
http://www.nihongo.com/aaa/chigaku/suugaku/Plimpton322.htm
原本修正は、ノイゲバウアーによる。
修正箇所は、{b(9), b(13), c(2), c(15)}で、same as [4].
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[8]「社会を変える驚きの数学」、合原一幸、ウェッジ、(2008)
p.59/図10: プリンプトン３２２の表、３辺(X,Y,Z)の１０進数表記一覧あり。
=>No.=none, 14行しかない。No.9=none.
=>No.11->gcd=900の値を採用:(X,Y,Z)=(3,4,5). ※[4]で言及しているが、No.11は、gcd !=1. 既約ではない。
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[9]「数学史、数学５０００年の歩み」、中村滋・室井和男、共立出版、(2014)、
p.67/表2.2 粘土板上の数値、６０進数のみ。
※書き誤りは訂正済み。l(n)欄は復元したもの。
他と唯一の違いは、No.15がgcd=2ではなく、gcd=1の値であること。
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◎最終目的）プリンプトン322での、ピタゴラス三つ組（１５組）を１０進数で確定すること。
end.