break : prime again (6) : (Equal division) .vs. (0.584)

[1]
[break : prime again (4)]で一覧したように、n=5からn=8までは、(0.584)を中心とする前半pと後半pの数がバランス（一致している）。n=9からn=12までは、前半p>後半pの関係である。このずれている箇所のバランスしているpを求める。
---
[2]
n=9,511<(p*38,767(=!p=0.584),p*37)<1023,
===(p*38,(!p=0.584),p*37)
135th=761,n=9,38/38,log2(761+1)=9.573647187,
136th=769,n=9,01/37,log2(769+1)=9.588714636,
===(p*37,p*38)
134th=757,n=9,37/37,log2(757+1)=9.566054038,
135th=761,n=9,01/38,log2(761+1)=9.573647187,
===[detail]
097th=509,n=8,
(511,n=9,border)
098th=521,n=9,1/38,
...
134th=757,n=9,37/38,log2(757+1)=9.566054038,
135th=761,n=9,(135-98+1)/38=38/38,log2(761+1)=9.573647187,
(767=0.584=!p)
136th=769,n=9,1/37,log2(769+1)=9.588714636,
...
172th=1021,n=9,(172-136+1)/37=37/37,
(1023,n=10,border)
173th=1031,n=10,
===
---
[3]先に、n=12を見てみる。
NG)n=12,4095<(p*236,6143(=p=0,584),p*227)<8191,
OK)n=12,4095<(p*236,6143(=p=0,584),p*226)<8191,
===(p*232,p*231) @(236+1+226)=463,463/2=231.5, pair(232,231)/or/pair(231,232),
0796th=6101,232/236,log2(6101+1)=12.57506646,
0797th=6113,233/236,log2(6113+1)=12.57790084,
===(p*231,p*232)
0795th=6091,231/236,log2(6091+1)=12.57270023,
0796th=6101,232/236,log2(6101+1)=12.57506646,
===[detail]
0564th=4093,n=11,
(4095,n=12,border)
0565th=4099,n=12,1/236,
...
0795th=6091,231/236,log2(6091+1)=12.57270023,
0796th=6101,232/236,log2(6101+1)=12.57506646,
0797th=6113,(797-565+1)=233/236,log2(6113+1)=12.57790084,
0798th=6121,log2(6121+1)=12.57978733,
0799th=6131,log2(6131+1)=12.58214198,
0800th=6133,(800-565+1)=236/236,log(6133+1)=12.58261245,
0801th=6143(=0.584),log2(6143+1)=12.5849625,
0802th=6151,n=12,1/226,log2(6151+1)=12.58683979,
...
1027th=8179,(1027-802+1)=226/226,
1028th=8191,n=13,border,
===
---
[4]
n=10,1023<(p*70,1535(=!p=0.584),p*67)<2047,
===(p*69,p*68), @(70+67)=137,137/2=68.5, pair(69,68)/or/pair(68,69),
241th=1523,69/69,log2(1523+1)=10.57364719,
242th=1531,01/68,log2(1531+1)=10.58120058,
===(p*68,p*69)
240th=1511,68/68,log2(1511+1)=10.56224242,
241th=1523,69/69,log2(1523+1)=10.57364719,
===[detail]
172th=1021,n=9,
(1023,n=10,border)
173th=1031,n=10,1/70,
...
240th=1511,68/70,log2(1511+1)=10.56224242,
241th=1523,69/70,log2(1523+1)=10.57364719,
242th=1531,(242-173+1)=70/70,log2(1531+1)=10.58120058,
(1535=0.584=!p)
243th=1543,1/67,log2(1543+1)=10.59245704,
...
309th=2039,n=10,(309-243+1)=67/67,
(2047,n=11,border),
310th=2053,n=11,
---
[5]
n=11,2047<(p*130,3071(=0.584=!p),p*125)<4095,
===(p*128,p*127), @(130+125)=255,255/2=127.5, pair(128,127)/or/pair(127,128),
437th=3049,128/128,lof2(3049+1)=11.57459353,
438th=3061,001/127,log2(3061+1)=11.58025857,
===(p*127,p*128)
436th=3041,127/127,log2(3041+1)=11.57080444,
437th=3049,128/128,lof2(3049+1)=11.57459353,
===[detail]
309th=2039,n=10,
(2047,n=11,border)
310th=2053,n=11,1/130,
...
436th=3041,127/130,log2(3041+1)=11.57080444,
437th=3049,128/130,log2(3049+1)=11.57459353,
438th=3061,129/130,log2(3061+1)=11.58025857,
439th=3067,(439-310+1)=130/130,log2(3067+1)=11.58308277,
(3071=0.584=!p)
440th=3079,1/125,log2(3079+1)=11.58871464,
...
564th=4093,n=11,(564-440+1)=125/125,
(4095,n=12,border),
565th=4099,n=12,
---
[6](0.584)となりの前後のpで、小数部がどう動いているかを見てみる。
当初、(0.584)=(center)として、前半p=なしの場合、nの境界値を使用し、あくまでも、
center=pの場合も、前半pと後半pには含めない流れで処理しようとしていた。が、
n=9以降、(0.584)でバランスしないので、(0.584)もp値の場合、後半pの数に含めた。
処理の流れに整合性がとれないと感じ、仕切り直し。
--
[a]前半pと後半pが一致する場合、そのまま等分で処理する。
[b]前半pと後半pが一致しない場合、cnt(前半p) = cnt(後半p) + 1 とする。
[c](0.584)をcenterとする考えは止め、[a][b]に従い、同pは前半p、後半pのいずれかに含める。
[d]nのborderは含まない。
--
収束点は(0.5)から(0.584)の方にズレていると見ていたが、(0.577)という数字が出てきた。3^-0.5=(0.57735 02692)を想起したが、ネットで（自然定数　0.577）を検索し、オイラー定数を知る。参考値としてグラフに付加した。
===
n,(before-n),(after-n),(Euler's),
3,0.584962501,0.807354922,0.57721566,
4,0.321928095,0.584962501,0.57721566,
5,0.584962501,0.754887502,0.57721566,
6,0.491853096,0.614709844,0.57721566
7,0.584962501,0.599912842,0.57721566,
8,0.584962501,0.607330314,0.57721566,
9,0.573647187,0.588714636,0.57721566,
10,0.57364719,0.58120058,0.57721566,
11,0.57459353,0.58025857,0.57721566,
12,0.57506646,0.57790084,0.57721566,
13,0.58072965,0.58096514,0.57721566,
14,0.57305541,0.57341051,0.57721566,
15,0.57672053,0.57707472,0.57721566,
16,0.57713374,0.57722228,0.57721566,
17,0.57798932,0.57812204,0.57721566,
18,0.57909492,0.57912439,0.57721566,
19,0.57912807,0.57913176,0.57721566,
===
[graph,now]

@上記のn=10からn=19までをみると、オイラー定数(列E)との関係がみえる、、、

===
[graph,previous,[6]first idea]n=8まで(0.584)=centerと見ていたが、形的に何か捨てがたいので、記録を残す。[6](再々)再考要か？

===[detail]
---
n=3,(p*1,p*1),
before)p=11,log2(11+1)=3.584962501,
after )p=13,log2(13+1)=3.807354922,
--
n=4,(p*2,p*2),
before)p=19,log2(19+1)=4.321928095,
after )p=23,log2(23+1)=4.584962501,
--
n=5,(p*4,p*3),
before)p=47,log2(47+1)=5.584962501,
after )p=53,log2(53+1)=5.754887502,
--
n=6,(p*6,p*6),
before)p=89, log2(89+1)=6.491853096,
after )p=97, log2(97+1)=6.614709844,
--
n=7,(p*12,p*11),
before)p=191,log2(191+1)=7.584962501,
after )p=193,log2(193+1)=7.599912842,
--
n=8,(p*22,p*21),
before)p=383,log2(383+1)=8.584962501,
after )p=389,log2(389+1)=8.607330314,
--
n=9,(p*38,p*37),
before)p=761, log2(761+1)=9.573647187,
after )p=769, log2(769+1)=9.588714636,
--
n=10,(p*69,p*68),
before)p=1523,log2(1523+1)=10.57364719,
after )p=1531,log2(1531+1)=10.58120058,
--
n=11,(p*128,p*127),
before)p=3049,log2(3049+1)=11.57459353,
after )p=3061,log2(3061+1)=11.58025857,
--
n=12,(p*232,p*231),
before)p=6101,log2(6101+1)=12.57506646,
after )p=6113,log2(6113+1)=12.57790084,
===
n=12以降、オイラー定数に収束するか？
===
n=13,(p*436,p*436),
before)p=12251,436/872,log2(12251+1)=13.58072965,
after )p=12253,437/872,log2(12253+1)=13.58096514,
--
n=14,(p*806,p*806),
before)p=24373,806/1612,log2(24373+1)=14.57305541,
after )p=24379,807/1612,log2(24379+1)=14.57341051,
---
n=15,(p*1515,p*1515),
before)p=48871,1515/3030,log2(48871+1)=15.57672053,
after )p=48883,1516/3030,log2(48883+1)=15.57707472,
---
n=16,(p*2854,p*2854),
before)p=97771,2854/6708,log2(97771+1)=16.57713374,
after )p=97777,2855/5708,log2(97777+1)=16.57722228,
---
n=17,(p*5375,p*5374),
before)p=195659,5375/10749,log2(195659+1)=17.57798932,
after )p=195677,5376/10749,log2(195677+1)=17.57812204,
---
n=18,(p*10195,p*10194),
before)p=391619,10195/20389,log2(391619+1)=18.57909492,
after )p=391627,10196/20389,log2(391627+1)=18.57912439,
---
n=19,(p*19318,p*19317),
before)p=783257,19318/38635,log2(783257+1)=19.57912807,
after )p=783259,19319/38635,log2(783259+1)=19.57913176,
===
[working memos]
---
n=13,8191<()<16383,
===(p*436,p*436), (1900-1029+1)=872,872/2=436, pair(p*436,p*436),
1464th=12251,(1464-1029+1)=436/872,log2(12251+1)=13.58072965,
1465th=12253,437/872,log2(12253+1)=13.58096514,
===[detail]
1027th=8179,n=12,
1028th=8191,border,n=13,
1029th=8209,n=13,1/872,
...
1462th=12239,434/872,log2(12239+1)=13.57931584,
1463th=12241,435/872,log2(12241+1)=13.57955165,
1464th=12251,(1464-1029+1)=436/872,log2(12251+1)=13.58072965,
1465th=12253,437/872,log2(12253+1)=13.58096514,
...
1900th=16381,n=13,872/872,
(16383,n=14,border),
1901th=16411,n=14,
===
---
n=14,16383<()<32767,
===(p*806,p*806), (3512-1901+1)=1612,1612/2=806, parit(p*806,p*806),
2706th=24373,806/1612,log2(24373+1)=14.57305541,
2707th=24379,807/1612,log2(24379+1)=14.57341051,
===[detail]
1900th=16381,n=13,
(16383,n=14,border),
1901th=16411,n=14,1/1612,
...
2706th=24373,806/1612,log2(24373+1)=14.57305541,
2707th=24379,807/1612,log2(24379+1)=14.57341051,
2708th=24391,(2708-1901+1)=808/1612,log2(24391+1)=14.57412044,
...
3512th=32749,n=14,1612/1612,
(32767,n=15,border)
3513th=32771,n=15,
===
---
n=15,32767<()<65535,
===(p*1515,p*1515), (6542-3513+1)=3030,3030/2=1515, pair(p*1515,p*1515),

===[detail]
3512th=32749,n=14,
(32767,n=15,border)
3513th=32771,n=15,
...
5027th=48871,1515/3030,log2(48871+1)=15.57672053,
5028th=48883,1516/3030,log2(48883+1)=15.57707472,
...
6542th=65521,n=15,3030/3030,
(65535,n=16,border),
6543th=65537,n=16,
===
---
n=16,65535<()<131071,
===(p*2854,p*2854), (12250-6543+1)=5708,5708/2=2854, pair(p*2854,p*2854),
9396th=97771,2854/6708,log2(97771+1)=16.57713374,
9397th=97777,2855/5708,log2(97777+1)=16.57722228,
===[detail]
6542th=65521,n=15,
(65535,n=16,border),
6543th=65537,n=16,
...
9396th=97771,2854/6708,log2(97771+1)=16.57713374,
9397th=97777,2855/5708,log2(97777+1)=16.57722228,
9398th=97787,(9398-6543+1)=2856/5708,log2(97787+1)=16.57736982,
...
12250th=131063,n=16,5708/5708,
12251th=131071,border,n=17,
12252th=131101,1/
===
---
n=17,131071<()<262143,
===(p*5375,p*5374), (23000-12252+1)=10749,10749/2=5374.5, pair(5375,5374)/or/
17626th=195659,5375/10749,log2(195659+1)=17.57798932,
17627th=195677,5376/10749,log2(195677+1)=17.57812204,
===[detail]
12250th=131063,n=16,
12251th=131071,border,n=17,
12252th=131101,1/10749,
...
17626th=195659,(17626-12252+1)=5375/10749,log2(195659+1)=17.57798932,
17627th=195677,5376/10749,log2(195677+1)=17.57812204,
...
23000th=262139,n=17,10749/10749,
(262143,n=18,border),
23001th=262147,n=18,
===
---
n=18,262143<()<524287,
===(p*10195,p*10194), (43389-23001+1)=20389,20389/2=10194.5, pair(p*10195,p*10194),
33195th=391619,10195/20389,log2(391619+1)=18.57909492,
33196th=391627,10196/20389,log2(391627+1)=18.57912439,
===
[detail]
23000th=262139,n=17,
(262143,n=18,border),
23001th=262147,n=18,1/
...
33195th=391619,(33195-23001+1)=10195/20389,log2(391619+1)=18.57909492,
33196th=391627,10196/20389,log2(391627+1)=18.57912439,
...
43389th=524269,n=18,
43390th=524287,border,n=19,
43391th=524309,n=19,
===
---
n=19,524287<()<1048575,
===(p*19318,p*19317), (82025-43391+1)=38635,38635/2=19317.5, pair(p*19318,p*19317)/or/,
62708th=783257,19318/38635,log2(783257+1)=19.57912807,
62709th=783259,19319/38635,log2(783259+1)=19.57913176,
===[detail]
43390th=524287,border,n=19,
43391th=524309,n=19,
...
62708th=783257,19318/38635,log2(783257+1)=19.57912807,
62709th=783259,19319/38635,log2(783259+1)=19.57913176,
62710th=783269,(62710-43391+1)=19320/38635,
...
82025th=1048573,n=19,
(1048575,n=20,border),
82026th=1048583,n=20,
===
---
end.

break : prime again (5) : rule of {p(n) before 0.584}

[1]border < p(n) < 0.584 のp(n)生成ルールを考える。
---
[2][break : prime again (3)],[5]の一覧を再掲。
n,p,?,result,(up/down),(border/or/0.584),comments,
--
2,3,1,O,up,border,
2,5,1,O,up,0.584,@before (0.584), except border.
--
3,7,1,O,up,border,
3,11,1,X,up,0.584,@before (0.584), except border.
3,11,((1,2)),O,down,
3,13,2,O,up,
--
4,15,,,border,@!p(15),
4,17,2,O,up,
4,19,4,O,up,,
4,23,3,O,up,0.584,@before (0.584), p(17,19)=?(2,4),
4,29,3,O,up,
--
5,31,6,O,up,border,
5,37,4,O,up,
5,41,6,O,up,
5,43,8,O,up,,
5,47,7,O,up,0.584,@before (0.584), p(37,41,43)=?(4,6,8),
5,53,7,O,up,
5,59,(7,8),X,(down,up),,@@@(redo)@@@
5,59,((9,10)),O,up,
5,61,11,O,down,
--
6,63,,,border,@!p(63),
6,67,8,O,down,
6,71,10,O,up,
6,73,(13,14),O,(down,up),
6,79,11,O,down,
6,83,(13,14),(X,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,83,((15,16)),O,up,
6,89,13,O,up,,
6,95,,,,0.584,@!p(95),@before (0.584), p(67,71,73,79,83,89)=?(8,10,(13,14),11,(14?),13),
6,95,,,,0.584,@!p(95),@?()=(set(p*3)?,set(p*3)?)=?((67,71,73),(79,83,89)),
6,97,13,O,up,
6,101,(15,16),(△,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,101,((17,18)),O,down,
6,103,18,O,down,
6,107,18,O,up,
6,109,(20,21),O,(down,up),
6.113,(18,19),O,(down,up),
--
7,127,14,O,down,border,
7,131,(21,22),(O,△),(up,up),
7,137,(20,21),(O,△),(down,up),
7,139,(24,25,26),(X,O,△),(down,up,up),
7,149,19,O,up,
7,151,(26,27,28),(△,O,△),(down,up,up),
7,157,(23,24),O,(up.up),
7,163,(23,24,25),(△,O,△),(down,up,up),
7,167,(26,27),(X,O),(down,down),
7,173,(25,26),O,(down,up),
7,179,(26,27),(O,△),(down,up),
7,181,(32,33,(33,34)),O,(down,up,down),
7,191,(25,26),(O,△),(down,up),0.584,@before (0.584), p(131,137,139)=?(21,20,25), p(149,151,157)=?(19,27,(23,24)), p(163,167,173)=?(24,27,(25,26)), p(179,181)=?(26,(32,33,(33,34))),
---
[3][2]で、borderから0.584までに限定し、result='O'のみとする。
n,p,?,result,(up/down),(border/or/0.584),comments,
--
2,3,1,O,up,border,
2,5,1,O,up,0.584,
--
3,7,1,O,up,border,
3,11,((1,2)),O,down,0.584.
--
4,15,,,border,@!p(15),
4,17,2,O,up,
4,19,4,O,up,,
4,23,3,O,up,0.584,
--
5,31,6,O,up,border,
5,37,4,O,up,
5,41,6,O,up,
5,43,8,O,up,,
5,47,7,O,up,0.584,
--
6,63,,,border,@!p(63),
6,67,8,O,down,
6,71,10,O,up,
6,73,(13,14),O,(down,up),
6,79,11,O,down,
6,83,((15,16)),O,up,
6,89,13,O,up,,
6,95,,,,0.584,@!p(95),
--
7,127,14,O,down,border,
7,131,21,O,up,
7,137,20,O,down,
7,139,25,O,up,
7,149,19,O,up,
7,151,27,O,up,
7,157,(23,24),O,(up.up),
7,163,24,O,up,
7,167,27,O,down,
7,173,(25,26),O,(down,up),
7,179,26,O,down,
7,181,(32,33,(33,34)),O,(down,up,down),
7,191,25,O,down,0.584,
---
[4][3]から、各nの border < p(n) < 0.584 に対して、max(diff(p(n),p(?))を示すと、
n,max(diff(p(n),p(?)),comments,
--
2,na,
3,na,
4,4,2^(4-2),
5,8,2^(5-2),
6,16,2^(6-2),
7,34,2^(7-2)=32?
--
n=7をよく見ると、
7,181,(32,33,(33,34)),O,(down,up,down),
があり、同一pで、複数のp(?)がある場合、min(diff(p(n),p(?))を選択すると、n=7は、(33,34)ではなく、単独の32となる。
---
一覧を再考。
n,min(diff(p(n),p(?))),max(diff(p(n),p(?)),comments,
--
2,na,na,
3,na,na,
4,2,4,2^(4-2)=4,
5,4,8,2^(5-2)=8,
6,8,16,2^(n-2)=16,@(15,16)はセットもの。
7,19,32,2^(n-2)=32,
8,?,?,?<2^(n-2)=64,@@@(todo), @n=8,32<?=c(38,39,...,56,)<64, @see comments for detail.
9,?,?,?<2^(n-2)=128,@@@(todo), @n=9,64<?=c(68,69,,113,114,)<128,
10,?,?,?<2^(n-2)=256,@@@(todo), @n=10,128<?=c(138△?,139△?,(146,147),,,205,206,)<256,
...
---[5][4]から、生成ルールは、以下になるか？
m=c(1,2,3,,,), ex) 0.584962501..=log2(5+1),
(2^m.0)-1 < p(n) < (2^m.584962501)-1,
p(n)^2=p(n-1)^2+p(?)^2,
2^(m-3) <= diff(p(n),p(?)) <= 2^(m-2),
diff(p(n),p(n-1))=1,
---
[6]上記は、前半pに関するものだが、後半pは、前半pとペアリングルールを期待している。が、既に、[break : prime again (4)]で示したように、(0.584)の位置が、中央ではなく、count(前半p) > count(後半p)の関係があることから、これをどのように収拾するか、前途多難？/or/前半pは、ペアなしとなるか？
end.

break : prime again (4) : count(p(4n+1)) at Mersenne world

[1]2^(n)-1 と2^(n+1)-1の間で、4n+1素数の個数と素数個数をみてみる。
(Magic number)=0.584=Mn, count()=cnt(),
--
n,range,(cnt(p)BeforeMn=pBM),Mn,(cnt(p)AfterMn=pAM), (cnt(p(4n+1)BeforeMn=p4n1BM),(cnt(p(4n+1))AfterMn=p4n1AM), (p4n1BM/pBM),(p4n1AM/pAM),
1,1<p<3,0,2(=p),0,0,0,na,na,
2,3<p<7,0,5(=p),0,0,0,na,na,
3,7<p<15,0,11(=p),1,0,1,na,1,
4,15<p<31,2,23(=p),1,1,1,1/2=0.5,1,
5,31<p<63,3,47(=p),3,2,2,2/3=0.666,2/3=0.666,
6,63<p<127,6,95(=!p),6,2,4,2/6=0.333,4/6=0.666,
7,127<p<255,11,191=(p),11,5,5,5/11=0.454,5/11=0.454,
8,255<p<511,21,383(=p),21,11,10,11/21=0.523,10/21=0.476,
9,511<p<1023,38,767(=!p),37,19,19,19/38=0.5,19/37=0.513,
10,1023<p<2047,70,1535(=!p),67,33,33,33/70=0.471,33/67=0.492,
11,2047<p<4095,130,3071(=!p),125,67,60,67/130=0.515,60/125=0.48,
12,4095<p<8191,236,6143(=p),227,116,117,116/236=0.491,117/227=0.515,
--
count(p(4n+1))は、http://allthingsuniverse.com/jp/prime/type/1mod4.html
を参考にした。
--
2014年、p(4n+1)=a^2+b^2のみの傾向を追求していたが、(a+bi)(a-bi)、θ=atan2(b/a)の傾向で、パターンは見られず、ランダムか？関係資料は廃棄。
---
[2][1]の比率のみに着目してグラフ化してみる。
(na)を除外するため、n=4からとする。
--
n,(p4n1BM/pBM),(p4n1AM/pAM),
4,0.5,1,5,0.666,0.666,
6,0.333,0.666,
7,0.454,0.454,
8,0.523,0.476,
9,0.5,0.513,
10,0.471,0.492,
11,0.515,0.48,
12,0.491,0.515,
--

各nを0.584で分けてみると、0.5を境に、絡み合うように発生している！
---
end.

break : prime again (3) : (Trial) Let's find near miss solution of Pythagorean theorem at Mersenne world

[0]数をなんとかまとめるために、雑記。
[1](0.5) .vs. (0.584...)を追求する予定だったが、これは直線思考なので、保留。後日か？
素数の件数を数えるために、一覧を見ていたが、１０年ぶりに訪れました。Thanks.
The Nth Prime Page : http://primes.utm.edu/nthprime/index.php#piofx初回試行）各0.584...が素数件数の中央とみていたが、0.5でもなく、0.57?の方向にズレているかみたいだ？現時点では、追求していない。保留！
---
[2]借りていた本：「数学者たちの楽園」サイモンシンで、フェルマーの最終定理のニアミス解を知る。x^n+y^n=z^nのズバリ解ではなく、近傍解か、、、周りから攻めることで、この世界の状況をより深く知ることができるかも。
---
[3]対象のprime(p)は、以前と同様にメルセンヌ数の以下の範囲とする。
n=2: 2^n-1=3,(3<p<7)=(5(=0.584)),@except border.
n=3: 2^n-1=7,(7<p<15)=(11(=0.584),13),
n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(17,19,23(=0.584),29),
n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(67,71,73,79,83,89,!p(95=0.584),97,101,103,107,109,113),
n=7; 2^n-1=127,(127<p<255)=(131,137,,,179,181,191(=0.584),193,197,,,241,251),
n=8; 2^n-1=255,(255<p<511)=(257,263,,,373,379,383(=0.584),389,397,,,503,509),
---
[4]手始めに、2^n-1のn毎に、ピタゴラス定理の近似解が成立しているかを見た。
各nの境界の先頭との関係は如何に？
===
border(n=3,start)=brd(3,s)=7,
11~sqrt(7^2+9^2)=11.401,~sqrt(7^2+avg(7,11)^2),~sqrt(brd(3,s)^2+avg(brd(3,s),p(n=3,1/2))^2),
13~sqrt(7^2+11^2)=13.038,~sqrt(brd(3,s)^2+p(n=3,1/2)^2),
13!=sqrt(7^2+12^2)=13.892~14,~sqrt(brd(3,s)^2+avg(p(3,1/2),p(3,2/2))^2),
===
brd(4,s)=15,
17~sqrt(15^2+7^2)=16.552,
17~sqrt(15^2+9^2)=17.492,~sqrt(15^2+avg(7,11)^2),~sqrt(brd(4,s)^2+avg(brd(3,s),p(n=3,1/2))^2),
19~sqrt(15^2+11^2)=18.601,~sqrt(brd(4,s)+p(n=3,1/2)^2),
19~sqrt(15^2+12^2)=19.209,~sqrt(15^2+avg(11,13)^2),~sqrt(brd(4,s)+avg(p(4,1/2),p(4,2/2))^2),
19!=sqrt(15^2+13^2)=19.849~20,sqrt(bdr(4,s)^2+p(4,2/2)^2),
19~sqrt(13^2+14^2)=19.104,~sqrt(p(n=3,2/2)^2+avg(p(n=3,2/2),brd(4,s))^2),
23~sqrt(15^2+17^2)=22.671,~sqrt(brd(4,s)+p(n=4,1/4)^2),
29~sqrt(17^2+23^2)=28.600,~sqrt(p(n=4,1/4)^2+p(n=4,1/3)^2),
===
brd(5,s)=31,
37~sqrt(23^2+29^2)=37.013,
37~sqrt(31^2+21^2)=37.44,~sqrt(31^2+avg(19,23)^2),~sqrt(brd(5,s)^2+avg(p(n=4,2/4),p(n=4,3/4))^2),
41~sqrt(31^2+26.1^2)=40.52, ~sqrt(31^2+(avg(23,29)+alpha)^2), ~sqrt(31^2+(avg(p(n=4,3/4),p(n=4,4/4))+alpha)^2),
41!=sqrt(31^2+26^2)=40.45,
43~sqrt(31^2+30^2)=43.139,~sqrt(31^2+avg(29,31)^2),~sqrt(31^2+avg(p(n=4,4/4),brd(5,s)^2),
53~sqrt(31^2+43^2)=53.009,~sqrt(31^2+p(n=5,3/7)^2),
59~sqrt(31^2+50^2)=58.830,~sqrt(31^2+avg(47,53)^2),~sqrt(31^2+avg(p(n=5,4/7),p(n=5,5/7))^2),
61~sqrt(31^2+53^2)=61.400,~sqrt(31^2+p(n=5,5/7)^2),
===
brd(6,s)=63,
67~sqrt(31^2+59.9^2)=67.446,~sqrt(31^2+(avg(59,61)-alpha)^2),~sqrt(31^2+(avg(p(n=5,6/7),p(n=5,7/7))-alpha)^2)
67!=sqrt(31^2+60^2)=67.535~68
67~sqrt(63^2+23^2)=67.067,~sqrt(brd(6,s)+p(n=4,3/4)^2),
...
===
この段階では、流れは見えていない。とりあえず、感触を得ただけ。
各nの先頭境界値を基準にした関係は、あまり見えてこないという直感だけ。
----
[before 5]試行錯誤を一応、記録。何も琴線に触れない？
[a]before (0.584), pair(17,37)?, pair(19,41)?, pair(29,43)?
------n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(17,19,23(=0.584),29),
------n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
[b]pair(n, n+1)?, pair(37,(67,71))?, pair(41,(73,79))?, pair(43,(83,89))?, 47=skipped, pair(53,(97,101))?, pair(59,(103,107))?, pair(61,(109,113))?
-----n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
-----n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(67,71,73,79,83,89, !p(95=0.584), 97,101,103,107,109,113),
---
[5]紆余曲折を経て、着目するp(n)に対して、p(n)^2=p(n-1)^2+p(?)^2の関係を探る方向に今は落ち着いた。p(n).vs.p(?)というよりも、diff(p(n),p(n-1))=1, diff(p(n),p(?))=?の変化を見てみる。
===
@@@n=1: 2^n-1=1,(1<p<3)=(p*0, 2(=0.584), p*0),
===
@@@n=2: 2^n-1=3,(3<p<7)=(p*0, 5(=0.584), p*0),
===p(n=2,0=border),
p=3,sqrt(3^2-2^2)=2.236, @(n-1,?)=(1,1)=O*all,up-side,
---sqrt(2^2+2^2)=2.828~3,O @s(2,2)=O,
---sqrt(2^2+2.4^2)=3.124~3,O @s(2,2.4)=O,
---sqrt(2.4^2+2.4^2)=3.394~3,O @s(2.4*2)=O,
---down-side:@s(1.5,2)=2.5=O, @s(1.5*2)=2.121=X, @following check is one-side only.
===p(2,0.584=center?),
p=5,sqrt(5^2-3^2)=4, @(n-1,?)=(1,1)=O*2,X*1,up,
---@s(3,3)=4.242,X, @s(3,3.4)=4.534,O, @(3.4*2)=4.808,O,
===
@@@n=3: 2^n-1=7,(7<p<15)=(p*0, 11(=0.584), p*1),
===p(3,0),
p=7,sqrt(7^2-5^2)=4.898, @(n-1,?)=(1,1)=O*2,X*1,up,
---@s(5,5)=7.071,O, @s(5,5.4)=7.359,O, @s(5.4*2)=7.636,X,
===p(3,0.584),
p=11,sqrt(11^2-7^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,1)=X*all,up,
---@s(7,7)=9.899,X, @s(7,7.4)=10.186,X, @s(7.4*2)=10.465,X,
===p(3,b,1/1), @b=second half of primes,
p=13,sqrt(13^2-11^2)=6.928, @(n-1,?)=(1,2)=O*3,X*1,up,
---@s(11,7)=13.038,O, @s(11.4,7)=13.377,O, @s(11,7.4)=13.257,O, @s(11.4,7.4)=13.591,X,
===
@@@n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(p*2, 23(=0.584), p*1),
===p(4,a,1/2), @a=first half of primes,
p=17,sqrt(17^2-13^2)=10.954, @(n-1,?)=(1,2)=0*3,X*1,up,
---@s(13,11)=17.029,O, @s(13.4,11)=17.336,O, @s(13,11.4)=17.290,O, @s(13.4,11.4)=17.593,X,
===p(4,a,2/2),
p=19,sqrt(19^2-17^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,4)=O*3,X*1,up,
---@s(17,7)=18.384,X, @s(17.4,7)=18.755,O, @s(17,7.4)=18.540,O, @s(17.4,7.4)=18.908,O,
===p(4,0.584),
p=23,sqrt(23^2-19^2)=12.961, @(n-1,?)=(1,3)=O*3,X*1,up,
---@s(19,13)=23.021,O, @s(19.4,13)=23.352,O, @s(19,13.4)=23.249,O, @s(19.4,13.4)=23.577,X,
===p(4,b,1/1),
p=29,sqrt(29^2-23^2)=17.663, @(n-1,?)=(1,3)=O*all,up,
---@s(23,17)=28.600,O, @s(23.4,17)=28.923,O, @s(23,17.4)=28.840,O, @s(23.4,17.4)=29.160,O,
===
@@@n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(p*3,47(=0.584),p*3),
===p(5,0),
p=31,sqrt(31^2-29^2)=10.954, @(n-1,?)=(1,6)=O*3,X*1=up,
---@s(29,11)=31.016,O, @s(29.4,11)=31.39,O, @s(29,11.4)=31.160,O, @s(29.4,11.4)=31.532,X,
===p(5,a,1/3),
p=37,sqrt(37^2-31^2)=20.199, @(n-1,?)=(1,4)=O*3,X*1,up,
---@s(31,19)=36.359,X, @s(31.4,19)=36.700,O, @s(31,19.4)=36.569,O, @s(31.4,19.4)=36.909.O,
===p(5,a,2/3),
p=41,sqrt(41^2-37^3)=17.663, @(n-1,?)=(1,6)=O*all,up,
---@s(37,17)=40.718,O, @s(37.4,17)=41.082,O, @s(37,17.4)=40.887,O, @s(37.4,17.4)=41.249,O,
===p(5,a,3/3),
p=43,sqrt(43^2-41^2)=12.961, @(n-1,?)=(1,8)=O*3,X*1,up,
---@s(41,13)=43.011,O, @s(41.4,13)=43.393,O, @s(41,13.4)=43.134,O, @s(41.4,13.4)=43.514,X,
===p(5,0.584),
p=47,sqrt(47^2-43^2)=18.973, @(n-1,?)=(1,7)=O*3,X*1,up,
---@s(43,19)=47.010,O, @s(43.3,19)=47.376,O, @s(43,19.4)=47.173,O, @s(43.2,19.4)=47.538,X,
===p(5,b,1/3),
p=53,sqrt(53^2-47^2)=24.494, @(n-1,?)=(1,7)=O*3,X*1,up,
---@s(47,23)=52.325,X, @s(47.4,23)=52.685,O, @s(47,23.4)=52.502,O, @s(47.4,23.4)=52.861,O,
===p(5,b,2/3),
p=59(1),sqrt(59^2-53^2)=25.922, @(n-1,?)=(1,8)=X*all,up,
---@s(53,23)=57.775,X, @s(53,23.4)=57.935,X, @s(53.4,23)=58.142,X, @s(53.4,23.4)=58.301,X, 
===
p=59(2), @(n-1,?)=(1,7)=X:all,down,
---@s(53,29)=60.415,X, @s(53,28.5)=60.176,X, @s(52.5,28.5)=59.736,X,
===p(5,b,3/3),
p=61,sqrt(61^2-59^2)=15.491, @(n-1,?)=(1,11)=O*all,down,
---@s(59,17)=61.400,O, @s(59,16.5)=61.263,O, @s(58.5,16.5)=60.782,O,
===
@too long without mistaken...
===
@@@n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(p*6,!p(95=0.584),p*6),
===p(6,a,1/6),
p=67,sqrt(67^2-61^2)=27.712, @(n-1,?)=(1,8)=O*3,X*1,down,
---@s(61,29)=67.542,X, @s(60.5,29)=67.091,O, @s(61,28.5)=67.329,O, @s(60.5,28.5)=66.876,O,
===p(6,a,2/6),
p=71,sqrt(71^2-67^2)=23.494, @(n-1,?)=(1,10)=O*all,up,
---@s(67,23)=70.837,O, @s(67.4,23)=71.216,O, @s(67,23.4)=70.968,O, @s(67.4,23.4)=71.346,O,
===p(6,a,3/6),
p=73(1),sqrt(73^2-71^2)=16.970, @(n-1,?)=(1,14)=O*all,up,
---@s(71,17)=73.007,O, @s(71.4,17)=73.395,O, @s(71,17.4)=73.101,O, @s(71.4,17.4)=73.489,O,
===
p=73(2), @(n-1,?)=(1,13)=O*all,sown,
---@s(71,19)=73.498,O, @s(70.5,19)=73.015,O, @s(71,18.5)=73.370,O, @s(70.5,18.5)=72.886,O,
===p(6,a,4/6),
p=79,sqrt(79^2-73^2)=30.199, @(n-1,?)=(1,11)=O*all,down,
---@s(73,31)=79.309,O, @s(72.5,31)=78.849,O, @s(73,30.5)=79.115,O, @s(72.5,30.5)=78.654,O,
===
@watching video(knowing) again, happend 311 (fukushima) after my first watched, just a few hours later...
===p(6,a,5/6),
p=83(1),sqrt(83^2-79^2)=25.455, @(n-1,?)=(1,14)=O*2,X*2,up,
---@s(79,23)=82.280,X, @s(79.4,23)=82.664,O, @s(79,23.4)=82.392,X, @s(79.4,23.4)=82.776,O,
===
p=83(2), @(n-1,?)=(1,13)=X*all,down,
---@s(79,29)=84.154,X, @s(78.5,29)=83.685,X, @s(78.5,28.5)=83.513,X,
===p(6,a,6/6),
p=89,sqrt(89^2-83^2)=32.124, @(n-1,?)=(1,13)=O*all,up,
---@s(83,31)=88.600,O, @s(83.4,31)=88.975,O, @s(83,31.4)=88.740,O, @s(83.4,31.4)=89.115,O,
===p(6,b,1.6),
p=97,sqrt(97^2-89^2)=38.574, @(n-1,?)=(1,13)=O*3,X*1,up,
---@s(89,37)=96.384,X, @s(89.4,37)=96.754,O, @s(89,37.4)=96.538,O, @s(89.4,37.4)=96.907,O,
===p(6,b,2/6),
p=101(1),sqrt(101^2-97^2)=28.142, @(n-1,?)=(1,16)=O*2,X*2,up,
---@s(97,29)=101.242,O, @s(97.4,29)=101.625,X, @s(97,29.4)=101.357,O, @s(97.4,29.4)=101.740,X,
===
p=101(2), @(n-1,?)=(1,15)=O*2,X*2,down,
---@s(97,31)=101.833,X, @s(96.5,31)=101.357,O, @s(97,30.5)=101.682,X, @s(96.5,30.5)=101.205,O,
===p(6,b,3/6),
p=103,sqrt(103^2-101^2)=20.199, @(n-1,?)=(1,18)=O*3,X*1,down,
---@s(101,23)=103.585,X, @s(100.5,23)=103.098,O, @s(101,22.5)=103.475,O, @s(100.5,22.5)=102.987,O,
===p(6,b,4/6),
p=107,sqrt(107^2-103^2)=28.982, @(n-1,?)=(1,18)=O*all,up,
---@s(103,29)=107.004,O, @s(103.4,29)=107.389,O, @s(103,29.4)=107.113,O, @s(103.4,29.4)=107.498,O,
===p(6,b,5/6),
p=109(1),sqrt(109^2-107^2)=20.784, @(n-1,?)=(1,21)=O*all,up,
---@s(107,19)=108.673,O, @s(107.4,19)=109.067,O, @s(107,19.4)=108.744,O, @s(107.4,19.4)=109.138,O,
===
p=109(2), @(n-1,?)=(1,20)=O*all,down,
---@s(107,23)=109.444,O, @s(106.5,23)=108.955,O, @s(107,22.5)=109.340,O, @s(106.5,22.5)=108.850,O,
===p(6,b,6/6),
p=113(1),sqrt(113^2-109^2)=29.799, @(n-1,?)=(1,19)=O*all,up,
---@s(109,29)=112.791,O, @s(109.4,29)=113.178,O, @s(109,29.4)=112.895,O, @s(109.4,29.4)=113.281,O,
===
p=113(2), @(n-1,?)=(1,18)=O*all,down,
---@s(109,31)=113.322,O, @s(108.5,31)=112.841,O, @s(109,30.5)=113.186,O, @s(108.5,30.5)=112.705,O,
===
@@@n=7; 2^n-1=127,(127<p<255)=(p*11, 191(=0.584), p*11),
===p(7,0),
p=127,sqrt(127^2-113^2)=57.965, @(n-1,?)=(1,14)=O*all,down,
---@s(113,59)=127.475,O, @s(112.5,59)=127.032,O, @s(113,58.5)=127.244,O, @s(112.5,58.5)=126.801,O,
===p(7,a,1/11),
p=131(1),sqrt(131^2-127^2)=32.124, @(n-1,?)=(1,21)=O*all,up,
---@s(127,31)=130.728,O, @s(127.4,31)=131.117,O, @s(127,31.4)=130.824,O, @s(127.4,31.4)=131.212.O,
===
p=131(2), @(n-1,?)=(1,22)=O*2,X*2,up,
---@s(127,29)=130.268,X, @s(127.4,29)=130.658,O, @s(127,29.4)=130.358,X, @s(127.4,29.4)=130.748,O,
===p(7,a,2/11),
p=137(1),sqrt(137^2-131^2)=40.099, @(n-1,?)=(1,20)=O*all,down,
---@s(131,41)=137.266,O, @s(130.5,41)=136.789,O, @s(131,40.5)=137.117,O, @s(130.5,40.5)=136.640,O,
===
p=137(2), @(n-1,?)=(1,21)=O*2,X*2,up,
---@s(131,37)=136.124,X, @s(131.4,37)=136.509,O, @s(131,37.4)=136.234,X, @s(131.4,37.4)=136.618,O,
===p(7,a,3/11),
p=139(1),sqrt(139^2-137^2)=23.494, @(n-1,?)=(1,25)=O*all,up,
---@s(137,23)=138.917,O, @s(137.4,23)=139.311,O, @s(137,23.4)=138.984,O, @s(137.4,23.4)=139.378,O,
===
p=139(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,up,
---@s(137,19)=138.311,X, @s(137.4,19)=138.707,O, @s(137,19.4)=138.366,X, @s(137.4,19.4)=138.762,O,
===
p=139(3), @(n-1,?)=(1,24)=O*1,X*3,down,
---@s(137,29)=140.035,X, @s(136.5,29)=139.546,X, @s(137,28.5)=139.933,X, @s(136.5,28.5)=139.443,O,
===p(7,a,4/11),
p=149,sqrt(149^2-139^2)=53.665, @(n-1,?)=(1,19)=O*all,up,
---@s(139,53)=148.761,O, @s(139.4,53)=149.135,O, @s(139,53.4)=148.904,O, @s(139.4,53.4)=149.277,O,
===p(7,a,5/11),
p=151(1),sqrt(151^2-149^2)=24.494, @(n-1,?)=(1,27)=O*all,up,
---@s(149,23)=150.764,O, @s(149.4,23)=151.160,O, @s(149,23.4)=150.826,O, @s(149.4,23.4)=151.221,O,
===
p=151(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,down,
---@s(149,29)=151.795,X, @s(148.5,29)=151.305,O, @s(149,28.5)=151.701,X, @s(148.5,28.5)=151.210,O,
===
p=151(3), @(n-1,?)=(1,28)=O*2,X*2,up,
---@s(149,19)=150.206,X, @s(149.4,19)=150.603,O, @s(149,19.4)=150.257,X, @s(149.4,19.4)=150.654,O,
===p(7,a,6/11),
p=157(1),sqrt(157^2-151^2)=42.988, @(n-1,?)=(1,23)=O*all,up,
---@s(151,43)=157.003,O, @s(151.4,43)=157.387,O, @s(151,43.4)=157.113,O, @s(151.4,43.4)=157.497,O,
===
p=157(2), @(n-1,?)=(1,24)=O*3,X*1,up,
---@s(151,41)=156.467,X, @s(151.4,41)=156.853,O, @s(151,41.4)=156.572, @s(151.4,41.4)=156.958,O,
===p(7,a,7/11),
p=163(1),sqrt(163^2-157^2)=43.817, @(n-1,?)=(1,24)=O*all,up,
---@s(157,43)=162.782,O, @s(157.4,43)=163.167,O, @s(157,43.4)=162.888,O, @s(157.4,43.4)=163.273,O,
===
p=163(2), @(n-1,?)=(1,25)=O*2,X*2,up,
---@s(157,41)=162.265,X, @s(157.4,41)=162.652,O, @s(157,41.4)=162.366,X, @s(157.4,41.4)=162.753,O,
===
p=163(3), @(n-1,?)=(1,23)=O*2,X*2,down,
---@s(157,47)=163.884,X, @s(156.5,47)=163.405,O, @s(157,46.5)=163.741,X, @s(156.5,46.5)=163.262,O,
===p(7,a,8/11),
p=167(1),sqrt(167^2-163^2)=36.331, @(n-1,?)=(1,27)=O*all,down,
---@s(163,37)=167.146,O, @s(162.5,37)=166.659,O, @s(163,36.5)=167.036,O, @s(162.5,36.5)=166.548,O,
===
p=167(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*1,X*3,down,
---@s(163,41)=168.077,X, @s(162.5,41)=167.592,X, @s(163,40.5)=167.956,X, @s(162.5,40.5)=167.470,O,
===p(7,a,9/11),
p=173(1),sqrt(173^2-167^2)=45.166, @(n-1,?)=(1,26)=O*3,X*1,up,
---@s(167,43)=172.447,X, @s(167.4,43)=172.834,O, @s(167,43.4)=172.547,O, @s(167.4,43.4)=172.934,O,
===
p=173(2), @(n-1,?)=(1,25)=O*all,down,
---@s(167,47)=173.487,O, @s(166.5,47)=173.006,O, @s(167,46.5)=173.352,O, @s(166.5,46.5)=172.871,O,
===p(7,a,10/11),
p=179(1),sqrt(179^2-173^2)=45.956, @(n-1,?)=(1,27)=O*2,X*2,up,
---@s(173,43)=178.263,X, @s(173.4,43)=178.652,O, @s(173,43.4)=178.36,X, @s(173.4,43.4)=178.748,O,
===
p=179(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*all,down,
---@s(173,47)=179.270,O, @s(172.5,47)=178.788,O, @s(173,46.5)=179.140,O, @s(172.5,46.5)=178.657,O,
===p(7,a,11/11),
p=181(1),sqrt(181^2-179^2)=26.832, @(n-1,?)=(1,33)=O*3,X*1,up,
---@s(179,23)=180.471,X, @s(179.4,23)=180.868,O, @s(179,23.4)=180.523,O, @s(179.4,23.4)=180.919,O,
===
p=181(2), @(n-1,?)=(1,32)=O*all,down,
---@s(179,29)=181.333,O, @s(178.5,29)=180.840,O, @s(179,28.5)=181.254,O, @s(178.5,28.5)=180.760,O,
===
p=181(3), @(n-1,?)=(1,(33,34))=O*all,down,
---@s(179,(23,29))=sqrt(179^2+(23^2+19^2))=181.469,O, @s(179,(22.5,19))=181.406,O, @s(179,(23,18.5))=181.417,O, @s(179,(22.5,18.5))=181.354,O,
---@s(178.5,(23,19))=180.975,O, @s(178.5,(22.5,19))=180.912,O, @s(178.5,(23,18.5))=180.924,O, @s(178.5,(22.5,18.5))=180.861,O,
===p(7,0.584),
p=191(1),sqrt(191^2-181^2)=60.991, @(n-1,?)=(1,25)=O*3,X*1,down,
---@s(181,61)=191.002,O, @s(180.5,61)=190.528,O, @s(181,60.5)=190.843,O, @s(180.5,60.5)=190.369,X,
===
p=191(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,up,
---@s(181,59)=190.373,X, @s(181.4,59)=190.753,O, @s(181,59.4)=190.497,X, @s(181.4,59.4)=190.877,O,
===p(7,b,1/11),
(stopped...)
===
@@@
===
(p*m, 0.584(=p,!p), p*m)に関して、0.584の前半pと後半pのペアリングを予想しているので、以下の一覧で、後半pの?が乱れるのは、気にしていない。ペアリングに関しては、後半で記述予定。pが互いに縦糸と横糸で関係付けられれば、最終目的地が近づいたとみる。
===
@(n-1,?)に関して一覧すると、@n=(n of 2^n-1), result=major(O*3,X*1)=O,
n,p,?,result,(up/down),(border/or/0.584),comments,
--
2,3,1,O,up,border,
2,5,1,O,up,0.584,@before (0.584), except border.
--
3,7,1,O,up,border,
3,11,1,X,up,0.584,@before (0.584), except border.
3,11,((1,2)),O,down,
3,13,2,O,up,
--
4,15,,,border,@!p(15),
4,17,2,O,up,
4,19,4,O,up,,
4,23,3,O,up,0.584,@before (0.584), p(17,19)=?(2,4),
4,29,3,O,up,
--
5,31,6,O,up,border,
5,37,4,O,up,
5,41,6,O,up,
5,43,8,O,up,,
5,47,7,O,up,0.584,@before (0.584), p(37,41,43)=?(4,6,8),
5,53,7,O,up,
5,59,(7,8),X,(down,up),,@@@(redo)@@@
5,59,((9,10)),O,up,
5,61,11,O,down,
--
6,63,,,border,@!p(63),
6,67,8,O,down,
6,71,10,O,up,
6,73,(13,14),O,(down,up),
6,79,11,O,down,
6,83,(13,14),(X,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,83,((15,16)),O,up,
6,89,13,O,up,,
6,95,,,,0.584,@!p(95),@before (0.584), p(67,71,73,79,83,89)=?(8,10,(13,14),11,(14?),13),
6,95,,,,0.584,@!p(95),@?()=(set(p*3)?,set(p*3)?)=?((67,71,73),(79,83,89)),
6,97,13,O,up,
6,101,(15,16),(△,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,101,((17,18)),O,down,
6,103,18,O,down,
6,107,18,O,up,
6,109,(20,21),O,(down,up),
6.113,(18,19),O,(down,up),
--
7,127,14,O,down,border,
7,131,(21,22),(O,△),(up,up),
7,137,(20,21),(O,△),(down,up),
7,139,(24,25,26),(X,O,△),(down,up,up),
7,149,19,O,up,
7,151,(26,27,28),(△,O,△),(down,up,up),
7,157,(23,24),O,(up.up),
7,163,(23,24,25),(△,O,△),(down,up,up),
7,167,(26,27),(X,O),(down,down),
7,173,(25,26),O,(down,up),
7,179,(26,27),(O,△),(down,up),
7,181,(32,33,(33,34)),O,(down,up,down),
7,191,(25,26),(O,△),(down,up),0.584,@before (0.584), p(131,137,139)=?(21,20,25), p(149,151,157)=?(19,27,(23,24)), p(163,167,173)=?(24,27,(25,26)), p(179,181)=?(26,(32,33,(33,34))),
--

[a]上記の一覧で、項目:result !='O'のものを再考する。対象を再掲。
--
3,11,1,X,up,0.584,
5,59,(7,8),X,(down,up),,@@@(redo)@@@
6,83,(13,14),(X,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,101,(15,16),(△,△),(down,up),@@@(redo)@@@
--
(p*m, 0.584, p*m)でバランスしていない部分は、sqrt(p(n-1)^2+(p(?)^2+p(??)^2))で３素数^2で処理してみる。
===
p=11, (p*0, 11(=0.584), p*1) を(p*[1], 11(=0.584), p*1)で前半pを生成してバランスさせたいので、
p=11,sqrt(11^2-7^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,(1,2))=O*6,X*2,down,
---@s(7,(7,5))=sqrt(7^2+(7^2+5^2))=sqrt(123)=11.090,O,  @s(7,(6.5,5))=10.781,O, @s(7,(7,4.5))=10.874,O, @s(7,(6.5,4.5))=10.559,O,---@s(6.5,(7,5))=10.781,O, @s(6.5,(6.5,5))=10.464,X, @s(6.5,(7,4.5))=10.559,O, @s(6.5,(6.5,4.5))=10.234,X,
===
p=101,sqrt(101^2-97^2)=28.142, (p*2, 23(=0.584), p*1)も、(p*2, 23, p*[2])を期待しているので、
p=101, @(n-1,?)=(1,(17,18))=O*all,down,
---@s(97,(23,19))=101.483,O, @s(97,(22.5,19))=101.371,O, @s(97,(23,18.5))=101.391,O, @s(97,(22.5,18.5))=101.279,O,
---@s(96.5,(23,19))=101.006,O, @s(96.5,(22.5,19))=100.893,O, @s(96.5,(23,18.5))=100.913,O, @s(96.5,(22.5,18.5))=100.800,O,
===
p=59,sqrt(59^2-53^2)=25.922, @(n-1,?)=(1,(9,10))=O*all,up,
---@s(53,(19,17))=58.813,O, @s(53,(19.4,17))=58.943,, @s(53,(19,17.4))=58.930,O, @s(53,(19.4,17.4))=59.060,O,
---@s(53.4,(19,17))=59.173,O, @s(53.4,(19.4,17))=59.303,O, @s(53.4,(19,17.4))=59.290,O, @s(53.4,(19.4,17.4))=59.419,O,
===
p=83,sqrt(83^2-79^2)=25.455, @(n-1,?)=(1,(15,16))=O*7,X*1,up,
---@s(79,(19,17))=83.012,O, @s(79,(19.4,17))=83.104,O, @s(79,(19,17.4))=83.094,O, @s(79,(19.4,17.4))=83.187,O,
---@s(79.4,(19,17))=83.392,O, @s(79.4,(19.4,17))=83.484,O, @s(79.4,(19,17.4))=83.475,O, @s(79.4,(19.4,17.4))=83.567,X,
===
---
[6]p(n)^2=p(n-1)^2+p(?)^2 の関係が分かって何が楽しいか？あまり楽しくない、、、
n=10,2^n-1=1023(=3*11*31)の次のpを求めてみる。
--
Web:[The Nth Prime Page]
p(171th)=1019,
p(172th)=1021,
n=10,2^n-1=1023(=3*11*31)
p(173th)=?
--
答えが分からないものとして、先に進む。
--
p(n)=1021のp(?)を求める。p(n-1)=1019.
sqrt(1021^2-1019^2)=63.86,
63の近傍のpは以下。
--
nth,p,sqrt(1019^2+p^2),(eq.1021),
16,53,sqrt(1019^2+53^2)=1020.377,X,
17,59,1020.706,O,@p(?),
18,61,1021.824,O,@p(?),
19,67,1021.200,O,@p(?),
20,70,1021.401,O,@p(?),
21,73,1021.611,X,
22,79,1022.057,X,
--
p(n)>1023,を見つける。
p(n-1)=1021,p(?)>70,で。
--
nth,p,sqrt(1021^2+p^2),fact,
21,73,1023.606~1023,3*11*31=!p(),
22,79,1024.051~1025,!p(),
23,83,1024.368~1025,!p(),
24,89,1024.871~1025,!p(),
25,97,1025.597~1026,!p(),
26,101,1025.983~1026,!p(),
27,103,1026.182~1027,13*79=!p(),
28,107,1026.591~1027,!p(),
29,109,1026.801~1027,!p(),
30,113,1027.234~1027,!p(),
31,127,1028.868~1029,3*7^3=!p(),
32,131,1029.369~1029,!p(),
33,137,1030.150~1031,p(),@@@found!
34,139,1030.418~1031,p(),@@@found!
35,149,1031.814~1033,p(),@@@found!
36,151,1032.105~1033,p(),@@@found!
--
Web:[The Nth Prime Page]
p(173th)=1031,
p(174th)=1033,
--
done.
---
[7]あまりに長くなったので、0.584の前後のpのペアリング検討に関しては、別途。ここで一旦終了とする。
---
[add.1]関連本
[a] 「数の世界、整数論への道」、和田秀男、岩波書店、(1981)
第10章、素数を表わす多項式
[b]「現代数学序説、集合と代数」、松坂和男、ちくま学芸文庫、(2017)
p.208/マチアセビッチが、1971年に素数表現多項式（21変数の21次）を作ったが、現在10変数まで圧縮。
[c]「ゲーデルの世界」、ジョン・L・カスティら、青土社、(2003)
p.198/マチャセビッチ、26変数を持ち、正の値が素数の集合と一致するような多項式を生み出している。
[d]「セクシーな数学」、グレゴリー・J・チャイティン、岩波書店、(2003)
アルゴリズム的情報理論、
---
[add.2]素数生成式の効率？について、考えさせられた。結論はまだ出ていない。
[a]オイラー式(n^2+n+41)の圧縮率は？効率は？
[b]式のゲーデル数化は使えるのか？
[c]観測データに規則がある場合）一連の観測結果を再現する最短プログラムのサイズ << 観測データのサイズ、/or/式(アルゴリズム)の長さ << 生成するデータ量
[d]観測データのサイズは、raw/or/(*.txt)2(*.zip)?
[e]理論のよいところは、データを圧縮して、はるかに小さな理論的仮定の集合にすること。圧縮率が大きいほどいい(セクシーな数学/p.196)。
[f]小さなプログラムに、数が圧縮できないなら、その数はランダムだ(セクシーな数学/p.8)。
[g]観測結果を直接書きとめて説明してもよいし、そうするためには、理論など必要なし。もし一連の観測結果を再現する最短プログラムが、観測結果自体をただ列挙しただけのものより短くなければ、その観測結果は、簡潔な法則もしくは規則がないという意味で無作為であるといってしまって構わない(ゲーデルの世界/p.182)。
[h]観測結果とは、、、何らかのアルゴリズムもしくは、プログラムによって、推定的に生じうるものなのだ(ゲーデルの世界/p.182)。
---
[add.3]ランドマークを建てるつもりはないが、何かを残すためのマーキングでもある。
正解は分からないので、類似あるいは、全く異なる状況から、知見を得て現在抱えている問題をクリアする手立てを考えるためでもある(like ラングランズ・プログラム)。
@何かあるのか／何もないのか？(which your choice).
end.

break : prime again (2) : expanse (imagine...)

[*]for OAR beauties...
[0]now, ゲーデルに至る、、、:ゲーデル数化＝文章のハッシュ値か？とか、、、
---
[1]prime again(1)の続きで、同[8]表から、primeの分布？に関して、空いた時間にイメージを広げてみた。表は、１行目＝メルセンヌ数ベース(2^n-1)、左１列目＝偶数、左２列目＝左端の偶数から生成された奇数(4n+1)、それ以外は、奇数(4n+3)がいっぱい。
---
[2]前と同じで、密度の濃い、１００までの数に関して、あれこれ。奇数(1to101)で、表８の発生場所を一覧してみた。(行数＝偶数値、列数＝4n+1が、０)とする。
===
odd, isPrime,(rowNo, colNo), xの小数部(=2^x-1)
1,,(0,1),0***
3,p,(0,2),0***
5,p,(2,1),0.584**
7,p,(0,3),0***
9,,(4,1),0.321
11,p,(2,2),0.584**
13,p,(6,1),0.807
15,,(0,4),0***
17,p,(8,1),0.169
19,p,(4,2),0.321
21,,(10,1),0.459
23,p,(2,3),0.584**
25,,(12,1),0.700
27,,(6,2),0.807
29,p,(14,1),0.906
31,p,(0,5),0***
33,,(16,1),0.087
35,,(8,2),0.169
37,p,(18,1),0.247
39,,(4,3),0.321
41,p,(20,1),0.392
43,p,(10,2),0.459
45,,(22,1),0.523
47,p,(2,4),0.584**
49,,(24,1),0.643
51,,(12,2),0.700
53,p,(26,1),0.754
55,,(6,3),0.807
57,,(28,1),0.857
59,p,(14,2),0.906
61,p,(30,1),0.954
63,,(0,6),0***
65,,(32,1),0.044
67,p,(16,2),0.087
69,,(34,1),0.129
71,p,(8,3),0.169
73,p,(36,1),0.209
75,,(18,2),0.247
77,,(38,1),0.285
79,p,(4,4),0.321
81,,(40,1),0.357
83,p,(20,2),0.392
85,,(42,1),0.426
87,,(10,3),0.456
89,p,(44,1),0.491
91,,(22,2),0.523
93,,(46,1),0.554
95,,(2,5),0.584**
97,p,(48,1),0.614
99,,(24,2),0.643
101,p,(50,1),0.672
===やはり、0.584はマジックナンバーのようだった、、、
メルセンヌ数とprimeの広がりが見えてこないだろうか、、、
---
[3]メルセンヌ数とその間の奇数、素数(2除外、奇素数のみ)の個数を一覧してみた。
===
m=メルセンヌ数(str-end), a=count(str<odd<end), b=count(str<p<end), (b/a), c(p=xの小数部),
1-3,0,0,-,(none)
3-7,1,1,1.000,(5=0.584)
7-15,3,2,0.666,(11=0.584,13)
15-31,7,4,0.571,(17,19,23=0.584,29)
31-63,15,7,0.466,(37,41,43,47=0.584,53,59,61), @{p*3, isP(47), p*3}
63-127,31,12,0.387,(67,71,73,79,83,89=0.491,notP(95)=0.584,97=0.614,101,103,107,109,113)
63-127,,,,@{p*6<0.5, notP(95), 0.5<p*6}
127-255,63,23,0.365,(131,137,,,181,191=0.584,193,,,241,251)
127-255,,,,@{p*11<0.5, isP(191), 0.5<p*11}
255-511,127,43,0.338,(257,263,,,,379,383=0.584,389,397,,,503,509)
255-511,,,,@{p*21<0.5, isP(383), 0.5<p*21}
===
count(str<odd<end)=((end-str)/2)-1
---
[4]メルセンヌ数範囲の素数個数の差分はどうか？
m,a,b,diff(b,see[3]),
3-7,1,1,diff=(2-1)=1,
7-15,3,2,diff=(4-2)=2,
15-31,7,4,diff=3,
31-63,15,7,diff=5,
63-127,31,12,diff=11,
127-255,63,23,diff=(43-23)=20,
255-511,127,43,diff=?,
です。これから何か？フィボナッチ的な何か？か？
---
[5]また時間があれば、突っ込みたい感じはあるが、、、今日はこれまで。
---
end.

break : prime again (1) : like Mersenne number, 2^(Integer)-1

[0]休憩？／[a]素数生成式を考える、[b]オイラーの式:n^2+n+41では、連続４０個素数を生成するが、４１個を生成する式を試みる、[c]超巨大な素数を追いかけるのではなく、100以下の素数に着目する。素数の個数が一番多く(25個)、やはり密度が高い箇所に分析の対象としたいがため、[d]素数生成式は、過去に、sqrt(n)の連分数での循環節とかを調べていたが、pending、[e]原始根の実用的な使い方が、イマイチ理解できないが、使いたい、[f]数論の書籍を収集したが、読了に至るのはいつのことか？、その中で4n+1, 4n+3素数を知ってよかった、などなど。
---
[1]2017/Nov./2x)本：「世界は素数でできている」、小島寛之、角川新書、(2017)を見ていると、メルセンヌ数がかなり露出しているように感じた。p=(2^x)-1, p=素数、x=(1,2,3,,,自然数)
---
[2]想起:2017/Nov./e）p=(2^x)-1, p=(100以下の素数), x=整数で表現したら、どうなの？
2^x=p+1,log2(2^x)=log2(p+1),x=log2(p+1), cal by casio:fx-915ES.
^^^
p=2,x=1.584962501<=小数部同じ？
p=3,x=2
p=5,x=2.584962501<=小数部同じ？
p=7,x=3
p=11,x=3.584962501<=小数部同じ？
p=13,x=3.807354922
p=17,x=4.169925001
p=19,x=4.321928095
p=23,x=4.584962501<=小数部同じ？
p=29,x=4.906890596
p=31,x=5
p=37,x=5.247927513
p=41,x=5.392317423
p=43,x=5.459431619
...
※小数部(n.584962501)はマジックナンバーか？
---
[3]2017/Dec, (2^n.584962501)-1のnを追求すると、どうなるか？
リアルpに近づいたり、離れたりしている。たまに一致する場面もあるが。これは素数が式では表せない、ランダム性を内在するのか？とか夢想,,,p=式+ランダム,,,(pending)
---
[4]2017/Dec./Mid, (2^x)-1=p<=100, xはどうなの？
x=(整数部).(小数部), (小数部)=同一値で、(整数部)を(n, n+1,,,n+m)と変化させたときに、別の素数との絡みはあるか？とか,,,夢想,,,(pending)
---
[5]2017/Dec./17, 13:47-, (2,3)から全てがつくれるか？とか、,,,夢想,,,(pending)
---
[6](2^x)-1=p, x=n.(小数部),
(minus方向):x=1.(小数部), 2.(小数部), 3.(小数部),,,(n-1).(小数部)
(plus方向):x=(n+1).(小数部), (n+2).(小数部),,,(n+∞).(小数部)
の場合、他のpとの絡みは？
^^^
(minus方向)の場合、合成数を通過する。
例）p=43,x=5.459431619
x=4.459431619, (2^x)-1=21
x=3.459431619, (2^x)-1=10 <=
x=2.459431619, (2^x)-1=4.5
x=1.459431619, (2^x)-1=1.75
x=0.459431619, (2^x)-1=0.375
---
[7]仮説１）[a]奇数は、偶数からつくられる。
[b]素数は、奇数から素数判定で割り出す。基本はフェルマーテストで行う。
[c]カーマイケル数対策は、対象数のx=n.(小数部)の一つ前のx=(n-1).(小数部)の奇数に対する原始根で判定する。
///pow()≡1、@@@TODO

[d]対象数の１つ前が、偶数の場合は、偶数の素因数分解し、その全ての合成数で、原始根を求めて判定する。
///例）@@@TODO

---
[8]仮説１）作業用シート、一部(2017/Dec./19, 06:03)

[a]左端は、偶数だけのはずが、９が混じってしまった。
[b]縦の１列目=4n+1?、２列目以降=4n+3?
---
[9]素数判定
フェルマーテスト：本：「数の世界」、和田秀男、岩波書店、(1981)、p117/
a^(n-1) ≡ 1 (mod n), n=素数
a^(n-1) !≡ 1 (mod n), n!=素数
^^^
フェルマーテストをパスする合成数が存在する、それはカーマイケル数 (Carmichael number)。
---
[10]原始根を求める、紙媒体
本：「数の世界」、和田秀男、岩波書店、(1981)、p.244-/10,000以下の奇素数とその最小素数原始根の表
---
[11]原始根を求める、オンライン
WolframAlpha/primitiveroot[n], n<>pはerror. 
---
[12] 原始根を求める、オンライン実行
python.org/online consoleで、pow()を実行可。
>>> pow(123,456,789)
699
@pow(123,456,789)=mod(123^456, 789),pow()=べき剰余
---
[13]原始根をある範囲で求める。オンラインpgm実行環境で、もうしばらくpythonも使っていなかったので、結局慣れているRで実行。誰でも作れる内容ではあるが、自分用に公開。出先で使えるため。
https://ideone.com/4quvcG
---
[14]n=23(=p)の原始根を見る。最小素数原始根=5.
^^^[a]references
[wada's book] min(primitive root(23))=5
http://m.wolframalpha.com/, PrimitiveRoot[23]=5

^^^[b]ideone/4quvcG, makePowList()
pow(2,[0-22],23)
makePowList(v_base = 2, v_mod = 23, op_mode = "list")
 v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2       23     0      1             22
2       2       23     1      2             21
3       2       23     2      4             19
4       2       23     3      8             15
5       2       23     4    16               7
6       2       23     5      9             14
7       2       23     6    18               5
8       2       23     7    13             10
9       2       23     8      3             20
10     2       23     9      6             17
11     2       23   10    12             11
12     2       23   11      1             22   
13     2       23   12      2             21
14     2       23   13      4             19
15     2       23   14      8             15
16     2       23   15    16               7
17     2       23   16      9             14
18     2       23   17    18               5
19     2       23   18    13             10
20     2       23   19      3             20
21     2       23   20      6             17
22     2       23   21    12             11
23     2       23   22      1             22

makePowList(v_base = 2, v_mod = 23, op_mode = "pow1")
 v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2    23    0   1         22
12     2    23  11   1         22 @pow(2,11,23)=1
23     2    23  22   1         22 @pow(2,22,23)=1

^^^[c]v_base=[3-15], makePowList(v_base, v_mod = 23, op_mode = "pow1")
   v_base v_mod num pow powDiffMod
1       3    23    0   1         22
12     3    23  11   1         22
23     3    23  22   1         22

1       4    23   0    1         22
12     4    23  11   1         22
23     4    23  22   1         22

1       5    23   0    1         22
23     5    23  22   1         22

1       6    23   0    1         22
12     6    23  11   1         22
23     6    23  22   1         22
...
[7-14] : {6=(11,22), 7=(22), 8=(11,22), 9=(11,22), 10=(22), 11=(22), 12=(11,22), 13=(11,22), 14=(22)}. except n^0=1
...
1     15    23   0    1         22
23   15    23  22   1         22

^^^[d]checked it same as pow() in python.org.
pow(n,22,23)=1
-
pow(2,11,23)=1
pow(3,11,23)=1
pow(4,11,23)=1
pow(5,11,23)=22 <=here!
pow(6,11,23)=1
pow(7,11,23)=22
pow(8,11,23)=1
pow(9,11,23)=1
pow(10,11,23)=22
pow(11,11,23)=22
pow(12,11,23)=1
pow(13,11,23)=1
pow(14,11,23)=22
pow(15,11,23)=22
...
@all:pow()=1/or/22(=p-1)?
@see sheet[8], n=23(=2^(n.x)-1), 2^(n-1.x)-1=11.
(2017/12/23, started | 2018/01/09, 11:39, touched)
---
[15]n=47(=p)の原始根を見る。
^^^[a]makePowList(v_base = 2, v_mod = 47, op_mode = "pow1")
   v_base v_mod num pow powDiffMod
1       2    47    0   1         46
24     2    47  23   1         46
47     2    47  46   1         46

^^^[b]pow(?,?,47)=?
pow(n,46,47)=1
-
pow(2,23,47)=1
pow(3,23,47)=1
pow(4,23,47)=1
pow(5,23,47)=46 <=PrimitiveRoot[47]=5
pow(6,23,47)=1
pow(7,23,47)=1
pow(8,23,47)=1
pow(9,23,47)=1
pow(10,23,47)=46
pow(11,23,47)=46
pow(12,23,47)=1
pow(13,23,47)=46
pow(14,23,47)=1
pow(15,23,47)=46
...
@all:pow()=1/or/46(=p-1)?
@see sheet[8], n=47(=2^(n.x)-1), 2^(n-1.x)-1=23.
---
[16]n=15(!=p)の原始根の状態を見る。
@@@@:TODO
@@@@:TODO
---
[17]to[19] : blank.
---
[20]カーマイケル数対応の例）n=561, @this number is checked by Wikipedia.
[a-1]n=561=4n+1で、１列目の可能性大で、その一つ前は、偶数。
[a]pow(2,560,561)=1,フェルマーテスト=pass.
[b]log2(561+1)=9.13442632,x=0.13442632,
(2^8.x)-1=280<=this selected.偶数でした。
(2^7.x)-1=139.5
(2^6.x)-1=69.249~
(2^5.x)-1=34.1249~
(2^4.x)-1=16.5625
(2^3.x)-1=7.781249~
[c]280=2^3*5*7=2*2*2*5*7
[d][c]から合成数を生成する。
（1組）2, 5, 7
（2組）2*2=4, 2*5=10, 2*7=14, 5*7=35
（3組）2*2*2=8, 2*2*5=20, 2*2*7=28, 2*5*7=70
（4組）2*2*2*5=40, 2*2*2*7=56, 2*2*5*7=140
結果、合成数=(2,4,5,7,8,10,14,20,28,35,40,56,70,140)
[e]求めた合成数の561に対する原始根を求める。
pow(2,合成数,561)=(合成数=原子根)=(2=4,4=16,5=32,7=128,8=256,10=463,14=115,
20=67,28=322,35=263,40=1,56=460,70=166,140=67)
pow(2,40,561)=1から、n=561<>p(prime).
(2017/Dec./23, 21:26)
---
[20-1]n=561,原始根分布は、(pow() by python.org)

^^^[a]pow([2-15],560,561)=1?
pow(2,560,561)=1
pow(3,560,561)=375
pow(4,560,561)=1
pow(5,560,561)=1
pow(6,560,561)=375
pow(7,560,561)=1
pow(8,560,561)=1
pow(9,560,561)=375
pow(10,560,561)=1
pow(11,560,561)=154
pow(12,560,561)=375
pow(13,560,561)=1
pow(14,560,561)=1
pow(15,560,561)=375

^^^[b]pow([2-15],40,561)=1?
pow(2,40,561)=1
pow(3,40,561)=441
pow(4,40,561)=1
pow(5,40,561)=67
pow(6,40,561)=441
pow(7,40,561)=67
pow(8,40,561)=1
pow(9,40,561)=375
pow(10,40,561)=67
pow(11,40,561)=220
pow(12,40,561)=441
pow(13,40,561)=1
pow(14,40,561)=67
pow(15,40,561)=375
(2018/01/09, 10:50, touched)
---
[21]n=1105では？=p/or/<>p?
[a]pow(2,1104,1105)=1, pass. n=1105=p?
[b]
@@@:TODO

---
[22]カーマイケル数で、4n+3を探す。
[22-a]A002997 https://oeis.org/A002997
Carmichael numbers: a^(n-1) == 1 (mod n)
  n          a(n)
  1          561
  2        1105
  3        1729
  4        2465
  5        2821
  6        6601
  7        8911
  8      10585
  9      15841
10      29341
...
[22-b]4n+3は？
561=3*11*17, 4n+1, pow(2,560,561)=1
1105=5*13*17, 4n+1, pow(2,1104,1105)=1
1729=7*13*19, 4n+1, pow(2,1728,1729)=1
2465=5*17*29, 4n+1, pow(2,2464,2465)=1
2821=7*13*31, 4n+1, pow(2,2820,2821)=1
6601=7*23*41, 4n+1, pow(2,6600,6601)=1
8911=7*19*67, 4n+3, pow(2,8910,8911)=1 <=check this!
10585=5*29*73, 4n+1, pow(2,10584,10585)=1
15841=7*31*73,4n+1, pow(2,15840,15841)=1
29341=13*37*61, 4n+1, pow(2,29340,29341)=1

[22-c]to check n=8911, as (2^n)-1.
log2(8911+1)=13.12153352,x=0.12153352, pow(2,8910,8911)=1, 8911=4n+3,
(2^12.x)-1=4455.000008, 4455=3^4*5*11, odd, pow(2,4454,4455)=4009, 4455=4n+3,
(2^11.x)-1=2227.000004, 2227=17*131, odd, pow(2,2226,2227)=429, 2227=4n+3,
(2^10.x)-1=1113.000002, 1113=3*7*53, odd, pow(2,1112,1113)=130, 1113=4n+1,
(2^9.x)-1=556.000001, 556=2^2*139, even, pow(2,555,556)=8,
-
(2^8.x)-1=277.5000005
(2^7.x)-1=138.2500003
(2^6.x)-1=68.62500013
(2^5.x)-1=33.81250006
(2^4.x)-1=16.40625003
(2^3.x)-1=7.703125016
(2^2.x)-1=3.351562508
(2^1.x)-1=1.175781254
(2^0.x)-1=0.08789062701

[22-d]pow() : to check 4455 as previous one of n=8911.
pow(2,4455,8911)=6364
pow(3,4455,8911)=8910
pow(4,4455,8911)=1
pow(5,4455,8911)=2813
pow(6,4455,8911)=2547
pow(7,4455,8911)=1540
pow(8,4455,8911)=6364
pow(9,4455,8911)=1
pow(10,4455,8911)=8644
pow(11,4455,8911)=267
pow(12,4455,8911)=8910
pow(13,4455,8911)=8910
pow(14,4455,8911)=7371
pow(15,4455,8911)=6098
-
pow(2,8910,8911)=1
pow(3,8910,8911)=1
pow(4,8910,8911)=1
pow(5,8910,8911)=1
pow(6,8910,8911)=1
pow(7,8910,8911)=1274
pow(8,8910,8911)=1
pow(9,8910,8911)=1
pow(10,8910,8911)=1
pow(11,8910,8911)=1
pow(12,8910,8911)=1
pow(13,8910,8911)=1
pow(14,8910,8911)=1274
pow(15,8910,8911)=1

[22-e]to check pos of pow()=1,  use makePowList(v_base = 2, v_mod = 8911, op_mode = "pow1")
     v_base v_mod  num pow powDiffMod
      1      2  8911       0   1       8910
  199      2  8911   198   1       8910
  397      2  8911   396   1       8910
  595      2  8911   594   1       8910
  793      2  8911   792   1       8910
  991      2  8911   990   1       8910
1189      2  8911 1188   1       8910
1387      2  8911 1386   1       8910
1585      2  8911 1584   1       8910
1783      2  8911 1782   1       8910
1981      2  8911 1980   1       8910
2179      2  8911 2178   1       8910
2377      2  8911 2376   1       8910
2575      2  8911 2574   1       8910
2773      2  8911 2772   1       8910
2971      2  8911 2970   1       8910
3169      2  8911 3168   1       8910
3367      2  8911 3366   1       8910
3565      2  8911 3564   1       8910
3763      2  8911 3762   1       8910
3961      2  8911 3960   1       8910
4159      2  8911 4158   1       8910
4357      2  8911 4356   1       8910
4555      2  8911 4554   1       8910
4753      2  8911 4752   1       8910
4951      2  8911 4950   1       8910
5149      2  8911 5148   1       8910
5347      2  8911 5346   1       8910
5545      2  8911 5544   1       8910
5743      2  8911 5742   1       8910
5941      2  8911 5940   1       8910
6139      2  8911 6138   1       8910
6337      2  8911 6336   1       8910
6535      2  8911 6534   1       8910
6733      2  8911 6732   1       8910
6931      2  8911 6930   1       8910
7129      2  8911 7128   1       8910
7327      2  8911 7326   1       8910
7525      2  8911 7524   1       8910
7723      2  8911 7722   1       8910
7921      2  8911 7920   1       8910
8119      2  8911 8118   1       8910
8317      2  8911 8316   1       8910
8515      2  8911 8514   1       8910
8713      2  8911 8712   1       8910
8911      2  8911 8910   1       8910
---
[23]blank.

@@@@@@
@@@@@@
@@@@@@
[TODO]
---
[7][c],[d]
[16]
[21]
@@@@@@
@@@@@@
@@@@@@
---
end.

P322 method : Making up Lost value in R6.txt

[0]P322 method(R6.txt)の入力データ形式に強引に当てはめようとしたため、１データセットにつき、７個のデータを確保できないものに対する救済措置である。単なるゼロ埋め的なものではなく、持ち手のデータの特徴を保持しつつ、30+1回目の予測値を促すものを、既存のデータの重複という形で実装したい。
---
[1]この件の起こりは、BTCの nonce値(4 bytes=32 bits < 37 bits)から、４３進数、７個のデータを生成するには、不足しており、「欠損値を補う」形で検討したものである。
---
[2]R6.txt用オリジナルのデータで、30回目のデータを１個づつ削り、30+1回目の予測値と比較した(nonce値の不足するデータ個数を、１から３個として、)。
==
実験した結果は以下の通り。
R6.txt(1201)={1,15,19,22,26,28,33}を編集。 1202を予想。
※判定方法は、{F*, T*}={ALL=O, ALL=O}で、予想値とのヒット数の合計が多い方から。
==
[a]1枠埋める (fill in 1 waku)
{1,15,19,22,26,28,?}で、?に何を重複させるか？
expected: ?={15}, or {22}.
final input={1,15,19,22,26,28,15}, or {1,15,19,22,26,28,22}.
※sum(hits): {15}=17, {22}=17
==
[b]2枠埋める (fill in 2 waku)
{1,15,19,22,26,?,?}で、?に何を重複させるか？
expected: ?={22,19}, or {22,1}?, or {26,1}??.
final input={1,15,19,22,26,22,19}, ...
※sum(hits): {22,19}=20, {22,1}=17, {26,1}=15
==
[c]3枠埋める (fill in 3 waku)
{1,15,19,22,?,?,?}で、?に何を重複させるか？
expected: ?={22,19,15}, or {22,19,1}?.
final input={1,15,19,22,22,19,15}, ...
※sum(hits): {22,19,15}=21, {22,19,1}=18
---
[3]R6.txtのデータ順番は、１から６番目まで、昇順であるが、今回の[?]に関しては、[回文配列]のアイデアを頂戴する。※TODO)[?]を含めて、昇順で予想値の検証はしていない。
参考本）「ゲノム編集を問う」、石井哲也、岩波新書、(2017)
p.19）第三世代、クリスパー・キャス９／規則的にスペーサーが配置された短回文配列繰り返し、配列群。ほとんどの古細菌は、クリスパーと呼ばれる配列群をもつ。
---
[4]？を埋めるコードを作成する。
食材は、
val=c(1,15,19,22), ※{1,15,19,22,?,?,?}
r6=c(1,43)
cal={min(val), max(val), mean(val), min(r6), max(r6), mean(r6)}
diff(call, val)
※試行錯誤の結果、ロジックは以下。

@@@@@@@@
@@@@@@@@
@@@@@@@@
TODO)これ以下、未編集。
@@@@@@@@
@@@@@@@@
@@@@@@@@
 
[a]
[b]



@@@@@@@@
@@@@@@@@
@@@@@@@@







---
[5]結果的に実装されたロジックから、以前読んだ、行動経済学の話を思い出す。電車の席とりの話は、自前の通勤時の感想から想起。また最近の数学本は、[遠山啓]関連なので。

@@@

行動経済学、行動心理学から
商品の選択で、真ん中、２番目を選ぶ傾向がある。
---
松竹梅の法則：選択肢が３つになると、中央を選択する傾向がある。

@@@
電車での座席(窓側の長椅子形式)に座る位置、、、：中央、両サイド。
me)座席は空いている。両端の利便性などのメリット(出口に近い、片側が肘掛けになる)で、選択傾向にぶれが生ずるが。
※始めに、両サイドから埋まり、次に、中央。さらに、中央とサイドの中間と、席は埋まっていく。
---
◎ここでは、両サイドの優位性はなく、全ての座席位置が、等しく選択されるものとする。
[１人目]中央をとる
[２人目]全体を２分割。それぞれの空間の中央。
[３人目]全体を３分割。それぞれの空間の中央。
※他者からのテリトリー、縄張りをキープする動き、、、

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本：「新版　水道方式入門　整数編」、遠山啓・銀林浩、国土社、(1992)
※単なる小学生の算数の教え方の本であると見ていたが、よく見るとエッセンス(啓示)が控えていた。
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p.ii）実践結果に基づき、5を中間的な単位として導入
はしがき）10をとらえるのに、いちど5を正しくとらえ、それを足場として、10をとらえさせる方法などは、旧版にはなく
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※5は、加算での繰り上がりの境目にもあたる。


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同本、p.51）乗法の素過程、第３案」を検討。両サイド＋中央の考え方が潜む？？？

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Rでコード作成。
最終的には、RStudioで作成したが。未完！
TODO)
オンライン実行環境での動作も確認したい。

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TODO)
サンプルコードを張り付け。
以下のサイトでの実行結果も示す。
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https://ideone.com/h2PFMv
https://www.tutorialspoint.com/online_r_ide.php

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end.