break : prime again (3) : (Trial) Let's find near miss solution of Pythagorean theorem at Mersenne world

[0]数をなんとかまとめるために、雑記。
[1](0.5) .vs. (0.584...)を追求する予定だったが、これは直線思考なので、保留。後日か？
素数の件数を数えるために、一覧を見ていたが、１０年ぶりに訪れました。Thanks.
The Nth Prime Page : http://primes.utm.edu/nthprime/index.php#piofx初回試行）各0.584...が素数件数の中央とみていたが、0.5でもなく、0.57?の方向にズレているかみたいだ？現時点では、追求していない。保留！
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[2]借りていた本：「数学者たちの楽園」サイモンシンで、フェルマーの最終定理のニアミス解を知る。x^n+y^n=z^nのズバリ解ではなく、近傍解か、、、周りから攻めることで、この世界の状況をより深く知ることができるかも。
---
[3]対象のprime(p)は、以前と同様にメルセンヌ数の以下の範囲とする。
n=2: 2^n-1=3,(3<p<7)=(5(=0.584)),@except border.
n=3: 2^n-1=7,(7<p<15)=(11(=0.584),13),
n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(17,19,23(=0.584),29),
n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(67,71,73,79,83,89,!p(95=0.584),97,101,103,107,109,113),
n=7; 2^n-1=127,(127<p<255)=(131,137,,,179,181,191(=0.584),193,197,,,241,251),
n=8; 2^n-1=255,(255<p<511)=(257,263,,,373,379,383(=0.584),389,397,,,503,509),
---
[4]手始めに、2^n-1のn毎に、ピタゴラス定理の近似解が成立しているかを見た。
各nの境界の先頭との関係は如何に？
===
border(n=3,start)=brd(3,s)=7,
11~sqrt(7^2+9^2)=11.401,~sqrt(7^2+avg(7,11)^2),~sqrt(brd(3,s)^2+avg(brd(3,s),p(n=3,1/2))^2),
13~sqrt(7^2+11^2)=13.038,~sqrt(brd(3,s)^2+p(n=3,1/2)^2),
13!=sqrt(7^2+12^2)=13.892~14,~sqrt(brd(3,s)^2+avg(p(3,1/2),p(3,2/2))^2),
===
brd(4,s)=15,
17~sqrt(15^2+7^2)=16.552,
17~sqrt(15^2+9^2)=17.492,~sqrt(15^2+avg(7,11)^2),~sqrt(brd(4,s)^2+avg(brd(3,s),p(n=3,1/2))^2),
19~sqrt(15^2+11^2)=18.601,~sqrt(brd(4,s)+p(n=3,1/2)^2),
19~sqrt(15^2+12^2)=19.209,~sqrt(15^2+avg(11,13)^2),~sqrt(brd(4,s)+avg(p(4,1/2),p(4,2/2))^2),
19!=sqrt(15^2+13^2)=19.849~20,sqrt(bdr(4,s)^2+p(4,2/2)^2),
19~sqrt(13^2+14^2)=19.104,~sqrt(p(n=3,2/2)^2+avg(p(n=3,2/2),brd(4,s))^2),
23~sqrt(15^2+17^2)=22.671,~sqrt(brd(4,s)+p(n=4,1/4)^2),
29~sqrt(17^2+23^2)=28.600,~sqrt(p(n=4,1/4)^2+p(n=4,1/3)^2),
===
brd(5,s)=31,
37~sqrt(23^2+29^2)=37.013,
37~sqrt(31^2+21^2)=37.44,~sqrt(31^2+avg(19,23)^2),~sqrt(brd(5,s)^2+avg(p(n=4,2/4),p(n=4,3/4))^2),
41~sqrt(31^2+26.1^2)=40.52, ~sqrt(31^2+(avg(23,29)+alpha)^2), ~sqrt(31^2+(avg(p(n=4,3/4),p(n=4,4/4))+alpha)^2),
41!=sqrt(31^2+26^2)=40.45,
43~sqrt(31^2+30^2)=43.139,~sqrt(31^2+avg(29,31)^2),~sqrt(31^2+avg(p(n=4,4/4),brd(5,s)^2),
53~sqrt(31^2+43^2)=53.009,~sqrt(31^2+p(n=5,3/7)^2),
59~sqrt(31^2+50^2)=58.830,~sqrt(31^2+avg(47,53)^2),~sqrt(31^2+avg(p(n=5,4/7),p(n=5,5/7))^2),
61~sqrt(31^2+53^2)=61.400,~sqrt(31^2+p(n=5,5/7)^2),
===
brd(6,s)=63,
67~sqrt(31^2+59.9^2)=67.446,~sqrt(31^2+(avg(59,61)-alpha)^2),~sqrt(31^2+(avg(p(n=5,6/7),p(n=5,7/7))-alpha)^2)
67!=sqrt(31^2+60^2)=67.535~68
67~sqrt(63^2+23^2)=67.067,~sqrt(brd(6,s)+p(n=4,3/4)^2),
...
===
この段階では、流れは見えていない。とりあえず、感触を得ただけ。
各nの先頭境界値を基準にした関係は、あまり見えてこないという直感だけ。
----
[before 5]試行錯誤を一応、記録。何も琴線に触れない？
[a]before (0.584), pair(17,37)?, pair(19,41)?, pair(29,43)?
------n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(17,19,23(=0.584),29),
------n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
[b]pair(n, n+1)?, pair(37,(67,71))?, pair(41,(73,79))?, pair(43,(83,89))?, 47=skipped, pair(53,(97,101))?, pair(59,(103,107))?, pair(61,(109,113))?
-----n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(37,41,43,47(=0.584),53,59,61),
-----n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(67,71,73,79,83,89, !p(95=0.584), 97,101,103,107,109,113),
---
[5]紆余曲折を経て、着目するp(n)に対して、p(n)^2=p(n-1)^2+p(?)^2の関係を探る方向に今は落ち着いた。p(n).vs.p(?)というよりも、diff(p(n),p(n-1))=1, diff(p(n),p(?))=?の変化を見てみる。
===
@@@n=1: 2^n-1=1,(1<p<3)=(p*0, 2(=0.584), p*0),
===
@@@n=2: 2^n-1=3,(3<p<7)=(p*0, 5(=0.584), p*0),
===p(n=2,0=border),
p=3,sqrt(3^2-2^2)=2.236, @(n-1,?)=(1,1)=O*all,up-side,
---sqrt(2^2+2^2)=2.828~3,O @s(2,2)=O,
---sqrt(2^2+2.4^2)=3.124~3,O @s(2,2.4)=O,
---sqrt(2.4^2+2.4^2)=3.394~3,O @s(2.4*2)=O,
---down-side:@s(1.5,2)=2.5=O, @s(1.5*2)=2.121=X, @following check is one-side only.
===p(2,0.584=center?),
p=5,sqrt(5^2-3^2)=4, @(n-1,?)=(1,1)=O*2,X*1,up,
---@s(3,3)=4.242,X, @s(3,3.4)=4.534,O, @(3.4*2)=4.808,O,
===
@@@n=3: 2^n-1=7,(7<p<15)=(p*0, 11(=0.584), p*1),
===p(3,0),
p=7,sqrt(7^2-5^2)=4.898, @(n-1,?)=(1,1)=O*2,X*1,up,
---@s(5,5)=7.071,O, @s(5,5.4)=7.359,O, @s(5.4*2)=7.636,X,
===p(3,0.584),
p=11,sqrt(11^2-7^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,1)=X*all,up,
---@s(7,7)=9.899,X, @s(7,7.4)=10.186,X, @s(7.4*2)=10.465,X,
===p(3,b,1/1), @b=second half of primes,
p=13,sqrt(13^2-11^2)=6.928, @(n-1,?)=(1,2)=O*3,X*1,up,
---@s(11,7)=13.038,O, @s(11.4,7)=13.377,O, @s(11,7.4)=13.257,O, @s(11.4,7.4)=13.591,X,
===
@@@n=4; 2^n-1=15,(15<p<31)=(p*2, 23(=0.584), p*1),
===p(4,a,1/2), @a=first half of primes,
p=17,sqrt(17^2-13^2)=10.954, @(n-1,?)=(1,2)=0*3,X*1,up,
---@s(13,11)=17.029,O, @s(13.4,11)=17.336,O, @s(13,11.4)=17.290,O, @s(13.4,11.4)=17.593,X,
===p(4,a,2/2),
p=19,sqrt(19^2-17^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,4)=O*3,X*1,up,
---@s(17,7)=18.384,X, @s(17.4,7)=18.755,O, @s(17,7.4)=18.540,O, @s(17.4,7.4)=18.908,O,
===p(4,0.584),
p=23,sqrt(23^2-19^2)=12.961, @(n-1,?)=(1,3)=O*3,X*1,up,
---@s(19,13)=23.021,O, @s(19.4,13)=23.352,O, @s(19,13.4)=23.249,O, @s(19.4,13.4)=23.577,X,
===p(4,b,1/1),
p=29,sqrt(29^2-23^2)=17.663, @(n-1,?)=(1,3)=O*all,up,
---@s(23,17)=28.600,O, @s(23.4,17)=28.923,O, @s(23,17.4)=28.840,O, @s(23.4,17.4)=29.160,O,
===
@@@n=5; 2^n-1=31,(31<p<63)=(p*3,47(=0.584),p*3),
===p(5,0),
p=31,sqrt(31^2-29^2)=10.954, @(n-1,?)=(1,6)=O*3,X*1=up,
---@s(29,11)=31.016,O, @s(29.4,11)=31.39,O, @s(29,11.4)=31.160,O, @s(29.4,11.4)=31.532,X,
===p(5,a,1/3),
p=37,sqrt(37^2-31^2)=20.199, @(n-1,?)=(1,4)=O*3,X*1,up,
---@s(31,19)=36.359,X, @s(31.4,19)=36.700,O, @s(31,19.4)=36.569,O, @s(31.4,19.4)=36.909.O,
===p(5,a,2/3),
p=41,sqrt(41^2-37^3)=17.663, @(n-1,?)=(1,6)=O*all,up,
---@s(37,17)=40.718,O, @s(37.4,17)=41.082,O, @s(37,17.4)=40.887,O, @s(37.4,17.4)=41.249,O,
===p(5,a,3/3),
p=43,sqrt(43^2-41^2)=12.961, @(n-1,?)=(1,8)=O*3,X*1,up,
---@s(41,13)=43.011,O, @s(41.4,13)=43.393,O, @s(41,13.4)=43.134,O, @s(41.4,13.4)=43.514,X,
===p(5,0.584),
p=47,sqrt(47^2-43^2)=18.973, @(n-1,?)=(1,7)=O*3,X*1,up,
---@s(43,19)=47.010,O, @s(43.3,19)=47.376,O, @s(43,19.4)=47.173,O, @s(43.2,19.4)=47.538,X,
===p(5,b,1/3),
p=53,sqrt(53^2-47^2)=24.494, @(n-1,?)=(1,7)=O*3,X*1,up,
---@s(47,23)=52.325,X, @s(47.4,23)=52.685,O, @s(47,23.4)=52.502,O, @s(47.4,23.4)=52.861,O,
===p(5,b,2/3),
p=59(1),sqrt(59^2-53^2)=25.922, @(n-1,?)=(1,8)=X*all,up,
---@s(53,23)=57.775,X, @s(53,23.4)=57.935,X, @s(53.4,23)=58.142,X, @s(53.4,23.4)=58.301,X, 
===
p=59(2), @(n-1,?)=(1,7)=X:all,down,
---@s(53,29)=60.415,X, @s(53,28.5)=60.176,X, @s(52.5,28.5)=59.736,X,
===p(5,b,3/3),
p=61,sqrt(61^2-59^2)=15.491, @(n-1,?)=(1,11)=O*all,down,
---@s(59,17)=61.400,O, @s(59,16.5)=61.263,O, @s(58.5,16.5)=60.782,O,
===
@too long without mistaken...
===
@@@n=6; 2^n-1=63,(63<p<127)=(p*6,!p(95=0.584),p*6),
===p(6,a,1/6),
p=67,sqrt(67^2-61^2)=27.712, @(n-1,?)=(1,8)=O*3,X*1,down,
---@s(61,29)=67.542,X, @s(60.5,29)=67.091,O, @s(61,28.5)=67.329,O, @s(60.5,28.5)=66.876,O,
===p(6,a,2/6),
p=71,sqrt(71^2-67^2)=23.494, @(n-1,?)=(1,10)=O*all,up,
---@s(67,23)=70.837,O, @s(67.4,23)=71.216,O, @s(67,23.4)=70.968,O, @s(67.4,23.4)=71.346,O,
===p(6,a,3/6),
p=73(1),sqrt(73^2-71^2)=16.970, @(n-1,?)=(1,14)=O*all,up,
---@s(71,17)=73.007,O, @s(71.4,17)=73.395,O, @s(71,17.4)=73.101,O, @s(71.4,17.4)=73.489,O,
===
p=73(2), @(n-1,?)=(1,13)=O*all,sown,
---@s(71,19)=73.498,O, @s(70.5,19)=73.015,O, @s(71,18.5)=73.370,O, @s(70.5,18.5)=72.886,O,
===p(6,a,4/6),
p=79,sqrt(79^2-73^2)=30.199, @(n-1,?)=(1,11)=O*all,down,
---@s(73,31)=79.309,O, @s(72.5,31)=78.849,O, @s(73,30.5)=79.115,O, @s(72.5,30.5)=78.654,O,
===
@watching video(knowing) again, happend 311 (fukushima) after my first watched, just a few hours later...
===p(6,a,5/6),
p=83(1),sqrt(83^2-79^2)=25.455, @(n-1,?)=(1,14)=O*2,X*2,up,
---@s(79,23)=82.280,X, @s(79.4,23)=82.664,O, @s(79,23.4)=82.392,X, @s(79.4,23.4)=82.776,O,
===
p=83(2), @(n-1,?)=(1,13)=X*all,down,
---@s(79,29)=84.154,X, @s(78.5,29)=83.685,X, @s(78.5,28.5)=83.513,X,
===p(6,a,6/6),
p=89,sqrt(89^2-83^2)=32.124, @(n-1,?)=(1,13)=O*all,up,
---@s(83,31)=88.600,O, @s(83.4,31)=88.975,O, @s(83,31.4)=88.740,O, @s(83.4,31.4)=89.115,O,
===p(6,b,1.6),
p=97,sqrt(97^2-89^2)=38.574, @(n-1,?)=(1,13)=O*3,X*1,up,
---@s(89,37)=96.384,X, @s(89.4,37)=96.754,O, @s(89,37.4)=96.538,O, @s(89.4,37.4)=96.907,O,
===p(6,b,2/6),
p=101(1),sqrt(101^2-97^2)=28.142, @(n-1,?)=(1,16)=O*2,X*2,up,
---@s(97,29)=101.242,O, @s(97.4,29)=101.625,X, @s(97,29.4)=101.357,O, @s(97.4,29.4)=101.740,X,
===
p=101(2), @(n-1,?)=(1,15)=O*2,X*2,down,
---@s(97,31)=101.833,X, @s(96.5,31)=101.357,O, @s(97,30.5)=101.682,X, @s(96.5,30.5)=101.205,O,
===p(6,b,3/6),
p=103,sqrt(103^2-101^2)=20.199, @(n-1,?)=(1,18)=O*3,X*1,down,
---@s(101,23)=103.585,X, @s(100.5,23)=103.098,O, @s(101,22.5)=103.475,O, @s(100.5,22.5)=102.987,O,
===p(6,b,4/6),
p=107,sqrt(107^2-103^2)=28.982, @(n-1,?)=(1,18)=O*all,up,
---@s(103,29)=107.004,O, @s(103.4,29)=107.389,O, @s(103,29.4)=107.113,O, @s(103.4,29.4)=107.498,O,
===p(6,b,5/6),
p=109(1),sqrt(109^2-107^2)=20.784, @(n-1,?)=(1,21)=O*all,up,
---@s(107,19)=108.673,O, @s(107.4,19)=109.067,O, @s(107,19.4)=108.744,O, @s(107.4,19.4)=109.138,O,
===
p=109(2), @(n-1,?)=(1,20)=O*all,down,
---@s(107,23)=109.444,O, @s(106.5,23)=108.955,O, @s(107,22.5)=109.340,O, @s(106.5,22.5)=108.850,O,
===p(6,b,6/6),
p=113(1),sqrt(113^2-109^2)=29.799, @(n-1,?)=(1,19)=O*all,up,
---@s(109,29)=112.791,O, @s(109.4,29)=113.178,O, @s(109,29.4)=112.895,O, @s(109.4,29.4)=113.281,O,
===
p=113(2), @(n-1,?)=(1,18)=O*all,down,
---@s(109,31)=113.322,O, @s(108.5,31)=112.841,O, @s(109,30.5)=113.186,O, @s(108.5,30.5)=112.705,O,
===
@@@n=7; 2^n-1=127,(127<p<255)=(p*11, 191(=0.584), p*11),
===p(7,0),
p=127,sqrt(127^2-113^2)=57.965, @(n-1,?)=(1,14)=O*all,down,
---@s(113,59)=127.475,O, @s(112.5,59)=127.032,O, @s(113,58.5)=127.244,O, @s(112.5,58.5)=126.801,O,
===p(7,a,1/11),
p=131(1),sqrt(131^2-127^2)=32.124, @(n-1,?)=(1,21)=O*all,up,
---@s(127,31)=130.728,O, @s(127.4,31)=131.117,O, @s(127,31.4)=130.824,O, @s(127.4,31.4)=131.212.O,
===
p=131(2), @(n-1,?)=(1,22)=O*2,X*2,up,
---@s(127,29)=130.268,X, @s(127.4,29)=130.658,O, @s(127,29.4)=130.358,X, @s(127.4,29.4)=130.748,O,
===p(7,a,2/11),
p=137(1),sqrt(137^2-131^2)=40.099, @(n-1,?)=(1,20)=O*all,down,
---@s(131,41)=137.266,O, @s(130.5,41)=136.789,O, @s(131,40.5)=137.117,O, @s(130.5,40.5)=136.640,O,
===
p=137(2), @(n-1,?)=(1,21)=O*2,X*2,up,
---@s(131,37)=136.124,X, @s(131.4,37)=136.509,O, @s(131,37.4)=136.234,X, @s(131.4,37.4)=136.618,O,
===p(7,a,3/11),
p=139(1),sqrt(139^2-137^2)=23.494, @(n-1,?)=(1,25)=O*all,up,
---@s(137,23)=138.917,O, @s(137.4,23)=139.311,O, @s(137,23.4)=138.984,O, @s(137.4,23.4)=139.378,O,
===
p=139(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,up,
---@s(137,19)=138.311,X, @s(137.4,19)=138.707,O, @s(137,19.4)=138.366,X, @s(137.4,19.4)=138.762,O,
===
p=139(3), @(n-1,?)=(1,24)=O*1,X*3,down,
---@s(137,29)=140.035,X, @s(136.5,29)=139.546,X, @s(137,28.5)=139.933,X, @s(136.5,28.5)=139.443,O,
===p(7,a,4/11),
p=149,sqrt(149^2-139^2)=53.665, @(n-1,?)=(1,19)=O*all,up,
---@s(139,53)=148.761,O, @s(139.4,53)=149.135,O, @s(139,53.4)=148.904,O, @s(139.4,53.4)=149.277,O,
===p(7,a,5/11),
p=151(1),sqrt(151^2-149^2)=24.494, @(n-1,?)=(1,27)=O*all,up,
---@s(149,23)=150.764,O, @s(149.4,23)=151.160,O, @s(149,23.4)=150.826,O, @s(149.4,23.4)=151.221,O,
===
p=151(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,down,
---@s(149,29)=151.795,X, @s(148.5,29)=151.305,O, @s(149,28.5)=151.701,X, @s(148.5,28.5)=151.210,O,
===
p=151(3), @(n-1,?)=(1,28)=O*2,X*2,up,
---@s(149,19)=150.206,X, @s(149.4,19)=150.603,O, @s(149,19.4)=150.257,X, @s(149.4,19.4)=150.654,O,
===p(7,a,6/11),
p=157(1),sqrt(157^2-151^2)=42.988, @(n-1,?)=(1,23)=O*all,up,
---@s(151,43)=157.003,O, @s(151.4,43)=157.387,O, @s(151,43.4)=157.113,O, @s(151.4,43.4)=157.497,O,
===
p=157(2), @(n-1,?)=(1,24)=O*3,X*1,up,
---@s(151,41)=156.467,X, @s(151.4,41)=156.853,O, @s(151,41.4)=156.572, @s(151.4,41.4)=156.958,O,
===p(7,a,7/11),
p=163(1),sqrt(163^2-157^2)=43.817, @(n-1,?)=(1,24)=O*all,up,
---@s(157,43)=162.782,O, @s(157.4,43)=163.167,O, @s(157,43.4)=162.888,O, @s(157.4,43.4)=163.273,O,
===
p=163(2), @(n-1,?)=(1,25)=O*2,X*2,up,
---@s(157,41)=162.265,X, @s(157.4,41)=162.652,O, @s(157,41.4)=162.366,X, @s(157.4,41.4)=162.753,O,
===
p=163(3), @(n-1,?)=(1,23)=O*2,X*2,down,
---@s(157,47)=163.884,X, @s(156.5,47)=163.405,O, @s(157,46.5)=163.741,X, @s(156.5,46.5)=163.262,O,
===p(7,a,8/11),
p=167(1),sqrt(167^2-163^2)=36.331, @(n-1,?)=(1,27)=O*all,down,
---@s(163,37)=167.146,O, @s(162.5,37)=166.659,O, @s(163,36.5)=167.036,O, @s(162.5,36.5)=166.548,O,
===
p=167(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*1,X*3,down,
---@s(163,41)=168.077,X, @s(162.5,41)=167.592,X, @s(163,40.5)=167.956,X, @s(162.5,40.5)=167.470,O,
===p(7,a,9/11),
p=173(1),sqrt(173^2-167^2)=45.166, @(n-1,?)=(1,26)=O*3,X*1,up,
---@s(167,43)=172.447,X, @s(167.4,43)=172.834,O, @s(167,43.4)=172.547,O, @s(167.4,43.4)=172.934,O,
===
p=173(2), @(n-1,?)=(1,25)=O*all,down,
---@s(167,47)=173.487,O, @s(166.5,47)=173.006,O, @s(167,46.5)=173.352,O, @s(166.5,46.5)=172.871,O,
===p(7,a,10/11),
p=179(1),sqrt(179^2-173^2)=45.956, @(n-1,?)=(1,27)=O*2,X*2,up,
---@s(173,43)=178.263,X, @s(173.4,43)=178.652,O, @s(173,43.4)=178.36,X, @s(173.4,43.4)=178.748,O,
===
p=179(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*all,down,
---@s(173,47)=179.270,O, @s(172.5,47)=178.788,O, @s(173,46.5)=179.140,O, @s(172.5,46.5)=178.657,O,
===p(7,a,11/11),
p=181(1),sqrt(181^2-179^2)=26.832, @(n-1,?)=(1,33)=O*3,X*1,up,
---@s(179,23)=180.471,X, @s(179.4,23)=180.868,O, @s(179,23.4)=180.523,O, @s(179.4,23.4)=180.919,O,
===
p=181(2), @(n-1,?)=(1,32)=O*all,down,
---@s(179,29)=181.333,O, @s(178.5,29)=180.840,O, @s(179,28.5)=181.254,O, @s(178.5,28.5)=180.760,O,
===
p=181(3), @(n-1,?)=(1,(33,34))=O*all,down,
---@s(179,(23,29))=sqrt(179^2+(23^2+19^2))=181.469,O, @s(179,(22.5,19))=181.406,O, @s(179,(23,18.5))=181.417,O, @s(179,(22.5,18.5))=181.354,O,
---@s(178.5,(23,19))=180.975,O, @s(178.5,(22.5,19))=180.912,O, @s(178.5,(23,18.5))=180.924,O, @s(178.5,(22.5,18.5))=180.861,O,
===p(7,0.584),
p=191(1),sqrt(191^2-181^2)=60.991, @(n-1,?)=(1,25)=O*3,X*1,down,
---@s(181,61)=191.002,O, @s(180.5,61)=190.528,O, @s(181,60.5)=190.843,O, @s(180.5,60.5)=190.369,X,
===
p=191(2), @(n-1,?)=(1,26)=O*2,X*2,up,
---@s(181,59)=190.373,X, @s(181.4,59)=190.753,O, @s(181,59.4)=190.497,X, @s(181.4,59.4)=190.877,O,
===p(7,b,1/11),
(stopped...)
===
@@@
===
(p*m, 0.584(=p,!p), p*m)に関して、0.584の前半pと後半pのペアリングを予想しているので、以下の一覧で、後半pの?が乱れるのは、気にしていない。ペアリングに関しては、後半で記述予定。pが互いに縦糸と横糸で関係付けられれば、最終目的地が近づいたとみる。
===
@(n-1,?)に関して一覧すると、@n=(n of 2^n-1), result=major(O*3,X*1)=O,
n,p,?,result,(up/down),(border/or/0.584),comments,
--
2,3,1,O,up,border,
2,5,1,O,up,0.584,@before (0.584), except border.
--
3,7,1,O,up,border,
3,11,1,X,up,0.584,@before (0.584), except border.
3,11,((1,2)),O,down,
3,13,2,O,up,
--
4,15,,,border,@!p(15),
4,17,2,O,up,
4,19,4,O,up,,
4,23,3,O,up,0.584,@before (0.584), p(17,19)=?(2,4),
4,29,3,O,up,
--
5,31,6,O,up,border,
5,37,4,O,up,
5,41,6,O,up,
5,43,8,O,up,,
5,47,7,O,up,0.584,@before (0.584), p(37,41,43)=?(4,6,8),
5,53,7,O,up,
5,59,(7,8),X,(down,up),,@@@(redo)@@@
5,59,((9,10)),O,up,
5,61,11,O,down,
--
6,63,,,border,@!p(63),
6,67,8,O,down,
6,71,10,O,up,
6,73,(13,14),O,(down,up),
6,79,11,O,down,
6,83,(13,14),(X,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,83,((15,16)),O,up,
6,89,13,O,up,,
6,95,,,,0.584,@!p(95),@before (0.584), p(67,71,73,79,83,89)=?(8,10,(13,14),11,(14?),13),
6,95,,,,0.584,@!p(95),@?()=(set(p*3)?,set(p*3)?)=?((67,71,73),(79,83,89)),
6,97,13,O,up,
6,101,(15,16),(△,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,101,((17,18)),O,down,
6,103,18,O,down,
6,107,18,O,up,
6,109,(20,21),O,(down,up),
6.113,(18,19),O,(down,up),
--
7,127,14,O,down,border,
7,131,(21,22),(O,△),(up,up),
7,137,(20,21),(O,△),(down,up),
7,139,(24,25,26),(X,O,△),(down,up,up),
7,149,19,O,up,
7,151,(26,27,28),(△,O,△),(down,up,up),
7,157,(23,24),O,(up.up),
7,163,(23,24,25),(△,O,△),(down,up,up),
7,167,(26,27),(X,O),(down,down),
7,173,(25,26),O,(down,up),
7,179,(26,27),(O,△),(down,up),
7,181,(32,33,(33,34)),O,(down,up,down),
7,191,(25,26),(O,△),(down,up),0.584,@before (0.584), p(131,137,139)=?(21,20,25), p(149,151,157)=?(19,27,(23,24)), p(163,167,173)=?(24,27,(25,26)), p(179,181)=?(26,(32,33,(33,34))),
--

[a]上記の一覧で、項目:result !='O'のものを再考する。対象を再掲。
--
3,11,1,X,up,0.584,
5,59,(7,8),X,(down,up),,@@@(redo)@@@
6,83,(13,14),(X,△),(down,up),@@@(redo)@@@
6,101,(15,16),(△,△),(down,up),@@@(redo)@@@
--
(p*m, 0.584, p*m)でバランスしていない部分は、sqrt(p(n-1)^2+(p(?)^2+p(??)^2))で３素数^2で処理してみる。
===
p=11, (p*0, 11(=0.584), p*1) を(p*[1], 11(=0.584), p*1)で前半pを生成してバランスさせたいので、
p=11,sqrt(11^2-7^2)=8.485, @(n-1,?)=(1,(1,2))=O*6,X*2,down,
---@s(7,(7,5))=sqrt(7^2+(7^2+5^2))=sqrt(123)=11.090,O,  @s(7,(6.5,5))=10.781,O, @s(7,(7,4.5))=10.874,O, @s(7,(6.5,4.5))=10.559,O,---@s(6.5,(7,5))=10.781,O, @s(6.5,(6.5,5))=10.464,X, @s(6.5,(7,4.5))=10.559,O, @s(6.5,(6.5,4.5))=10.234,X,
===
p=101,sqrt(101^2-97^2)=28.142, (p*2, 23(=0.584), p*1)も、(p*2, 23, p*[2])を期待しているので、
p=101, @(n-1,?)=(1,(17,18))=O*all,down,
---@s(97,(23,19))=101.483,O, @s(97,(22.5,19))=101.371,O, @s(97,(23,18.5))=101.391,O, @s(97,(22.5,18.5))=101.279,O,
---@s(96.5,(23,19))=101.006,O, @s(96.5,(22.5,19))=100.893,O, @s(96.5,(23,18.5))=100.913,O, @s(96.5,(22.5,18.5))=100.800,O,
===
p=59,sqrt(59^2-53^2)=25.922, @(n-1,?)=(1,(9,10))=O*all,up,
---@s(53,(19,17))=58.813,O, @s(53,(19.4,17))=58.943,, @s(53,(19,17.4))=58.930,O, @s(53,(19.4,17.4))=59.060,O,
---@s(53.4,(19,17))=59.173,O, @s(53.4,(19.4,17))=59.303,O, @s(53.4,(19,17.4))=59.290,O, @s(53.4,(19.4,17.4))=59.419,O,
===
p=83,sqrt(83^2-79^2)=25.455, @(n-1,?)=(1,(15,16))=O*7,X*1,up,
---@s(79,(19,17))=83.012,O, @s(79,(19.4,17))=83.104,O, @s(79,(19,17.4))=83.094,O, @s(79,(19.4,17.4))=83.187,O,
---@s(79.4,(19,17))=83.392,O, @s(79.4,(19.4,17))=83.484,O, @s(79.4,(19,17.4))=83.475,O, @s(79.4,(19.4,17.4))=83.567,X,
===
---
[6]p(n)^2=p(n-1)^2+p(?)^2 の関係が分かって何が楽しいか？あまり楽しくない、、、
n=10,2^n-1=1023(=3*11*31)の次のpを求めてみる。
--
Web:[The Nth Prime Page]
p(171th)=1019,
p(172th)=1021,
n=10,2^n-1=1023(=3*11*31)
p(173th)=?
--
答えが分からないものとして、先に進む。
--
p(n)=1021のp(?)を求める。p(n-1)=1019.
sqrt(1021^2-1019^2)=63.86,
63の近傍のpは以下。
--
nth,p,sqrt(1019^2+p^2),(eq.1021),
16,53,sqrt(1019^2+53^2)=1020.377,X,
17,59,1020.706,O,@p(?),
18,61,1021.824,O,@p(?),
19,67,1021.200,O,@p(?),
20,70,1021.401,O,@p(?),
21,73,1021.611,X,
22,79,1022.057,X,
--
p(n)>1023,を見つける。
p(n-1)=1021,p(?)>70,で。
--
nth,p,sqrt(1021^2+p^2),fact,
21,73,1023.606~1023,3*11*31=!p(),
22,79,1024.051~1025,!p(),
23,83,1024.368~1025,!p(),
24,89,1024.871~1025,!p(),
25,97,1025.597~1026,!p(),
26,101,1025.983~1026,!p(),
27,103,1026.182~1027,13*79=!p(),
28,107,1026.591~1027,!p(),
29,109,1026.801~1027,!p(),
30,113,1027.234~1027,!p(),
31,127,1028.868~1029,3*7^3=!p(),
32,131,1029.369~1029,!p(),
33,137,1030.150~1031,p(),@@@found!
34,139,1030.418~1031,p(),@@@found!
35,149,1031.814~1033,p(),@@@found!
36,151,1032.105~1033,p(),@@@found!
--
Web:[The Nth Prime Page]
p(173th)=1031,
p(174th)=1033,
--
done.
---
[7]あまりに長くなったので、0.584の前後のpのペアリング検討に関しては、別途。ここで一旦終了とする。
---
[add.1]関連本
[a] 「数の世界、整数論への道」、和田秀男、岩波書店、(1981)
第10章、素数を表わす多項式
[b]「現代数学序説、集合と代数」、松坂和男、ちくま学芸文庫、(2017)
p.208/マチアセビッチが、1971年に素数表現多項式（21変数の21次）を作ったが、現在10変数まで圧縮。
[c]「ゲーデルの世界」、ジョン・L・カスティら、青土社、(2003)
p.198/マチャセビッチ、26変数を持ち、正の値が素数の集合と一致するような多項式を生み出している。
[d]「セクシーな数学」、グレゴリー・J・チャイティン、岩波書店、(2003)
アルゴリズム的情報理論、
---
[add.2]素数生成式の効率？について、考えさせられた。結論はまだ出ていない。
[a]オイラー式(n^2+n+41)の圧縮率は？効率は？
[b]式のゲーデル数化は使えるのか？
[c]観測データに規則がある場合）一連の観測結果を再現する最短プログラムのサイズ << 観測データのサイズ、/or/式(アルゴリズム)の長さ << 生成するデータ量
[d]観測データのサイズは、raw/or/(*.txt)2(*.zip)?
[e]理論のよいところは、データを圧縮して、はるかに小さな理論的仮定の集合にすること。圧縮率が大きいほどいい(セクシーな数学/p.196)。
[f]小さなプログラムに、数が圧縮できないなら、その数はランダムだ(セクシーな数学/p.8)。
[g]観測結果を直接書きとめて説明してもよいし、そうするためには、理論など必要なし。もし一連の観測結果を再現する最短プログラムが、観測結果自体をただ列挙しただけのものより短くなければ、その観測結果は、簡潔な法則もしくは規則がないという意味で無作為であるといってしまって構わない(ゲーデルの世界/p.182)。
[h]観測結果とは、、、何らかのアルゴリズムもしくは、プログラムによって、推定的に生じうるものなのだ(ゲーデルの世界/p.182)。
---
[add.3]ランドマークを建てるつもりはないが、何かを残すためのマーキングでもある。
正解は分からないので、類似あるいは、全く異なる状況から、知見を得て現在抱えている問題をクリアする手立てを考えるためでもある(like ラングランズ・プログラム)。
@何かあるのか／何もないのか？(which your choice).
end.