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[1]sqrt(n)を作図できるが、pi/or/sqrt(pi)は作図できない？が、実際問題、近似値として
捉えれば何でも出来る、、、か？ 物理的な作図行為自体も誤差の固まりなのだからと、あっさり割り切る、、、
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[2]「円積問題」にきた訳、(0)pi値が何らかの境界値として機能しているかの探索？、
(1)アルキメデスの外接／内接によるpiの近似値計算、(2)デカルトによるsqrt(n)の作図、
から、ここに至る。
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[3] 肝は、三角形に内接する半円だ。
半径r=1、中心を(x,y)=(0,0)とする。
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| qcad-20160512-2035.dxf |
※サイズ＝１では作図しづらかったので、１０倍で作図。1/10にして読んで下さい。
※だいぶ、QCADの操作に慣れてきた。先に作成した後述のサンプルよりはいいかも。
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(x,y)=(1,0),(0,-1.75)を通過するもの、の直線：y=ax+bに着目すると、
a=-b, y=ax-aで、a=1.75, y=1.75x-1.75
(x,y)=(x,1), x=?, 1=1.75x-1.75, x=2.75/1.75=11/7で、
内接半円の底辺（図中：三角形の上部辺）は、11/7*2=22/7=3.142857...
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22/7は見た事ありますね！
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[4]他に、円をころがし、円周を求める方法もみたが、ここでは、あくまでも、近似的なpiを作図する方法で行きます。※目盛りのない定規とコンパスを使用してと言いたい所だが、CADソフト(手直にあったQCAD)を代用する。
使えそうなCAD(当方の稼働OSが古いのでも、うごくもの限定）で、急遽QCADの操作方法を習得したもの。とりあえず、サンプルです。
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| qcad-20160508-1915.dxf |
[a]半径r=10の円は、sqrt(pi)を求める、下の円のr=10とならず、9.9688になっている。
[b]三角形は、正三角形ではなく、角度６０°のつもりが、６１°になっています。ご了承を。
[c]先の[3]の三角形を横倒しにしたもの。半径r=10を単位円と見立てて、sqrt(pi)を作図。求める正方形は、(sqrt(pi))^2=pi.
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[5]当面、正三角形の６０°でも、かなりいい？近似か？
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| qcad-20160514-1139.dxf |
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[6]本件の起点となったものは、別にあった(2016/05/02 around)。
「ヒポクラテスの弓形」で、小円の半円に関して、大円の中心を頂点とする二等辺三角形（もしくは正三角形）に内接した場合にどうなるか？検討中に見えたもの、、、
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| 20160503-1648.rpcd |
後は、sqrt(pi)が作図できれば、ゴールという流れ。
この前の段階では、学生の頃の製図道具を引っぱり出して、作図にトライしていたが、今は、便利なCADソフトがあり。これを使いましょうとなった。
手近にあったRootPro CAD5(Free)/Windows7で作成したもの。その後動作環境が合わず、現在QCADに変更している。
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※過去メモ整理中。
[7]内接する半円の二等辺三角形の底辺=piになる、角度を求める。
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| qcad-20160524-1518.dxf |
(x,y)=(1,0),(pi/2,1)を追加する直線(y=ax+b)となるため、
0=a+b -> b=-a
1=a(pi/2)+b,1=a(pi/2-1),a=2/(pi-2).
pi=3.1415,a=1.75208...,b=-1.75208...
See[3]. b=-1.75に近いです。
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角度(angle)は、atan(p1/2*(pi-2)/pi)=atan(pi/2-1).
Excel2003)=DEGREES(ATAN(PI()/2-1))=29.717566...
30度に極めて近い、前の正三角形でもかなりいい近似ではないか、、、
See[5].
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[8]
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以下、未整理！
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＠＠＠ピタゴラス３数を分度器にすると、更に、3.1415までの近似となる。
(?,?,?),
(637, 1116, 1285),,,
P322(n>15)に位置するか？
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end.
9 件のコメント:
2016/05/03):参考資料等
[1]book,「数学の隠れたハーモニー」ピタゴラスの定理のすべて、ロバート・カプランら、SoftBank Creative,(2011)/p.154)ヒポクラテス、半円、、、
[2]book,「デカルトの暗号手稿」、アミール・D・アクゼル、早川書房、(2006)/p.174)デカルト、直定規とコンパスで平方根を作図する。図。
[3]Wikipedia/円積問題/近代の近似作図法で、紹介されている方法、、、ネット検索では見つかっていない？where?
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2016/05/04)
[1]book,「数学序説」、吉田洋一ら、ちくま学芸文庫、(2013)/p.304)作図で、四則演算＋平方根の絵的説明あり。
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2016/05/11)
円積問題、円を正方形化する、Squaring the Circle...
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end.
2016/04/02)
[1]book,「πと微積分の２３話」、寺澤順、日本評論社、(2006)/p.42)ガウスの正規分布の公式、www.wolframalpha.com の入力形式で表現すると、
Integrate[e^(-x^2), {x,-∞,∞}] = sqrt(pi)=1.77245..
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2016/04/17)
[1]book,「数学する精神」、加藤文元、中公新書1912,(2007)/p.17)円周率,,,そのつど有効な桁数まで打ち切った近似で満足するしかないのである。,,,どんな実数も有限の桁をもつ小数、つまり有理数で好きなだけ近似できることを示している。
[2]book,「ユークリッドと彼の現代のライバルたち」、ルイス・キャロル、日本評論社、(2016)/p.12-13)正三角形を描いたとしても、それは目に見えません。つまり、紙の上に描いた幾何学図形は偽物なのです。近似的なものです。正確なものは作図不可能なのです。
[3]book,「無限をつかむ」、イアン・スチュアート、近代科学社、(2013)/p.82)円の中の三角形で、弦と弧
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2016/04/01-./04/23,around)
[1]book,「古代文明の数学」、ファン・デル・ヴォルデン、加藤文元訳、日本評論社、(2006)/p.232)「円を正方形にする」、「正方形を円にする」、
/目的）(1)円の近似値、近似分数。(2)平方根の近似計算方法、を確認。
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2016/04/09-./04/25,around)
[1]book,「数学の想像力」、加藤文元、筑摩選書0069、(2013)/p.81)建部も(pi)^2の真値を知っていたわけではないし、完全に計算できるわけではない。その知られざる値に近づく、あるいは近づいているという認識を建部はどのようにして獲得していたのであろうか,,,
/目的）アルキメデス、円の内接／外接多角形による、円周率の近似方法、を確認。
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end.
[6]added.
関連本、箇所は、
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[1]book,「πの歴史」、ペートル・ベックマン、ちくま学芸文庫(2006)./p.64-66.
[2]本件、コメントNo.1 / 2016/05/03):参考資料等/[1]book,再掲。p.154-156.
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end.
now checking...
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[1]book,「数学史の世界」、村田 全、玉川選書45,(1997).
/p.72)新しい数学が、バビロニア伝来の古い代数学を計算術でなく、幾何学によって、再編成したものであることは、エウクレイデス（ユークリッド）の「原論」の内容とメソポタミア出土の楔形文字の文書との対比によって、すでに十分確かめられている。
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[2]book,「歴史の中の数学」、マイケル・S・マホーニィ、佐々木 力訳、ちくま学芸文庫,(2007)./円積関連。
[3]book,「πの歴史」、ペートル・ベックマン、ちくま学芸文庫、(2006)./円積関連。
[4]book,「デカルト著作集１」、白水社、(1973,1983)./幾何学、原 亨吉訳.
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東京大学出版会 http://www.utp.or.jp/series/eucleides.html
[5]book,「エウクレイデス全集、第１巻、原論I-VI」、東京大学出版会,(2008).
[6]book,「エウクレイデス全集、第２巻、原論VII-X」、東京大学出版会,(2015).
[7]book,「エウクレイデス全集、第４巻、デドメナ／オプティカ／カトプトリカ」、東京大学出版会,(2010).
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end.
now checking...
[8]book,「復刻版 ギリシア数学史」、T・L・ヒース、平田 寛ら訳、共立出版,(1998).
end.
[1]book,「数学をきずいた人々」、村田 全、さえら書房,(2008).
/p.50)ギリシア数学でも、一番古い時代に生まれた、このような整数の理論はどうやら「原論」の第７、８、９巻にまとめられていて、そこになごりをとどめているらしい,,,どうして、第１巻にしないで、第７、８、９巻にしたのか？,,,
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私案,No.1）やはり、第１巻はトピック的なもの、実用的なものを上げて、後から、基礎を追加したのでは？やはり、基礎からだと注目されにくいためか？
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私案,No.2)団体ユークリッドは、スポンサーの依頼で、「原論」プロジェクトを企画した。手始めに、プロジェクトへの継続的な資金援助を確固たるものにすべく、第１巻目に「ピタゴラスの定理」を掲げた。以降、
第２回配本：正方形、長方形に関する,,,（基本概念の確認？）
第３回配本：円に関する,,,（基本概念の確認？）
第４回配本：円に内接・外接する,,, => 円周に至る道,,,
第５回配本：比、比例に関する,,, =>等積問題,,,
第６回配本：同上?,,,
までを習得した暁に、「円積問題」等に挑戦する素地できるようにする。
第７回以降は、より詳しく学びための、基本編へと続く,,,
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[2]book,same as [1],/p.59)ユークリッドという名で、代表される一群の学者たち、それもことによると、百年にもわたるような長い期間に現れた学者たちの、たゆまぬ努力の結晶と言うべきかもしれない,,,like ブルバキ,,,
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[3]自分たちの存在感を示すために、前文明のコピーではなく、一旦リセットして、別な形態で表現する必要があった。そのため、バビロニア数学のエッセンスを文字以外の表現形式で統一し、辞典的なものを編纂するプロジェクトを立ち上げた。文字以外とすると...絵的な幾何学を全面に採用し、現存する数学理論を一連の書物として再構築した。そして、何百年の長きにわたって、改版された。/now想起したが、この話はどこかでみたのか、記憶があいまい。
[4]BC２０００あたり？から、デカルトらの記号論（１７世紀）とザックリ、４０００年から５０００年の期間が、前文明？の忘却から数学理論再編までの熟成期間なのか？」と夢は続く,,,
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end.
[1]book,「数学史の世界」、村田 全、玉川選書45,(1977).
/p.70)ファン・デル・ワルデンの結論は、代数と幾何との関係をめぐって、ギリシア数学は確かに根底的動揺を経過したし、無理数論の誕生も、これにうながされたものではあったが,,,
p.70)代数と幾何との間のこの素朴な共存関係は、無理数の発見を機縁として、破られる。,,,新しい比例概念が必要になり、新しい証明が要求される。
p.71)無理数,,,実用的な近似計算ならば、バビロニアの昔からすでに十分できていたのだから,,,
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[2]私案）ユークリッド教団が、反シュメール文化圏？として、西欧に君臨。
[3]私案）その分家、ピタゴラス一派で、無理数の発見、導入を計画することで、幾何学が破綻し始めた？ そのための新しい比例関連は、原論全体の再構築？を意味するため。」などと、夢想する日々,,,（sqrt(2)の話は、よく聞くが、実際はもっと深い話であった）。
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[4]TODO)原論での無理数の関連記述を確認。
book,「エウクレイデス全集、第１巻、第２巻」、東京大学出版会に限定して、見てみる。
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end.
now pending...(2016/05/19)
○円の正方形化、近似問題で追求したかった事柄など。
[1]book, 「歴史の中の数学」、マイケル・S・マホーニィ、ちくま学芸文庫,(2007).
/p.88)図１.../キオスのヒッポクラテスは「月形の正方形化」において、、、/角の三等分問題.
/p.94)図３...
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[2]book, 「πの歴史」、ペートル・ベックマン、ちくま学芸文庫,(2006).
/p.147)図33.クザーヌスの近似
/p.189)図39.スネリウスーホイヘンスの限界
/p.201)図45.円を長方形になおすコチャンスキーの近似(1685)
/p.202)図46.ゲルダーの作図、ホブソンの作図
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end.
いまだゴールも目的も見えないが、長方形の正方形化問題に向かう,,,
(Squaring the Rectangle)：Rectangle(a,b)=Square(sqrt(ab)).
デカルトの半円を使用したsqrt(ab)作図から、同問題の解決方法がネットに散見されるが、ギリシャ数学で、比率、黄金律等を用いて、結果的にsqrt(ab)を近似する方法を探る,,,
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