○ピタゴラスの３数とマチンの公式の関係を探る。
[1]piの生成公式から、マチンの公式を知る。
[2]P322のピタゴラス３数(現行の１５行)から、pi/4を生成するarctan式を見てみる。
[3]前提１)
tan(pi/4)=1, arctan(1)=pi/4.
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ... (0 < x <= 1)
[グレゴリー・ライプニッツ級数]
x=1; pi/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
[マチンの公式]
pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
pi/4 = 2arctan(1/2) - arctan(1/7)
pi/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7)
pi/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239)
---
pi/4 = k*arctan(1/m) + l*arctan(1/n), {k,l,m,n}=いずれも整数値.
で、arctan()の２式の組み合わせは、上記の４パターンのみ。
~~~参考本s
「円周率が歩んだ道」、上野健爾、岩波書店、(2013). p.188 - p.191
「π,-πの計算 アルキメデスから現代まで」、竹之内脩ら、共立出版、(2007).
「円周率, 歴史と数理, 数学のかんどころ22」、中村滋、共立出版、(2013).
~~~
[4]前提２),「πの公式をデザインする」、猪口和則、新風舎、(1998)./p.114,122
pi/2 = arctan(∞)
pi/3 = arctan(sqrt(3))
pi/4 = arctan(1)
pi/5 = arctan(sqrt(5 - 2sqrt(5)))
pi/6 = arctan(1/sqrt(3))
pi/8 = arctan(sqrt(2) - 1)
...
[5]ピタゴラス３数とマチンの関係は、以下が起点。
「マチンの公式を導いてみる」、深谷茂樹、福島県立橘高等学校
§2.ピタゴラスの三角形とマチンの公式、p.23 - 25
http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/55/55-10.pdf
[6][5]から、P322と合致するピタゴラス３数を一覧すると、
@@@@
TODO:
P322(1)=(119,120,169), P322(11)=(3,4,5)
P322(?)=(20,21,29)
P322(?)=(2,3,?)
@@@@
P322(1): (u,v)=(5,12), 169=u^2+v^2, 120=2uv.
P322(11): (u,v)=(1,2), 5=1^2+2^2, 4=2uv.
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P322(1) <~diff~> P322(11) <~diff~> P322(22)
5/12 <~(1/12)~> 6/12=1/2 <~(1/12)~> 7/12
~~~
{5,6,7,12}と日常生活に関連する数字が引っかかる,,,
@@@@
P322()の間隔は、1/12*1/10=1/120で、1200セントと関連ありか？
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P322(22): (u,v)=(7,12), 193=u^2+v^2, 168=2uv. ??? =(95,168,193).???
@@@@
arctan(P322(1)) ~ arctan(P322(11)) ~ arctan(P322(22))
arctan(119/120) ~ arctan(3/4) ~ arctan(95/168)
44.76..° ~ 36.86..° ~ 29.48..°
pi/4(=45°) ~ pi/5(=36°) ~ pi/6(=30°)
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ガウス分布=sqrt(pi) ~ pi...,
正規分布の信頼区間との関連？
P322(1): (119/120)=0.9916.. ~99%
P322(?): (20/21)=0.952380.. ~95%
P322(11): (3/4)=0.75 =75%
に見えますが、、、真理はいずこにありや？
@@@@
[7]
aaa
aaa
end.
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粘土板：BM85194)の存在を知る。
本１：「円周率、歴史と数理／数学のかんどころ(22)」、中村滋、共立出版、(2013)./p.51-53.
弧の長さ=60、弦の長さ=50で、弦で切り取った弓形の面積を求める問題。
~~~
円周率を割り出す、円に内接する正多角形の問題にみえる。
~~~
同時に、チャック中。本２：「不思議な数、πの伝説」、Alfred S.Posamentierら、日経BP社、(2005)./p.83-.／アルキメデス式のπの値の求め方。
~~~
問題には、円の半径の指定はないので、円周率が関わる弧と、ピタゴラス定理が関わる正多角形の弦の比を見てみる。弧/弦=60/50=1.2 になる正多角形はあるか？
~~~
内接の正多角形を六角形や四角形からnを増やしていく例が多いが、[本２]p.83の正三角形から見てみる。円は、直径=1として計算している。円周=π=pi.
~~~
l=内接正n角形の周、
[n=3] l=3/2*sqrt(3)=2.598..., 弧=pi/n=pi/3, 弦=l/n=3/2*sqrt(3)/3, 弧/弦=1.209...
....問題の比：弧/比=60/50=1.2 に近い、、、
[n=4] 弧=pi/4, 弦=2.828.../4, 弧/弦=pi/2.828...=1.110...
[n=5] 弧/弦=pi/2.938...=1.069...
[n=6] 弧/弦=pi/3...=1.047...
[n=7] 弧/弦=pi/3.037...=1.0344...
...
やはり、この問題は、円周率を求めるための、円内接正三角形の問題では、、、と感じる。
end.
円周率を得るために、内接正多角形の周の長さを求める方法に関して。
本３：「π,-πの計算,アルキメデスから現代まで」、竹之内脩ら、共立出版、(2007).
p.32)中国の方法では、内接正多角形しか用いていない。「九章算術」,,,
正n多角形, n={6,12,24,48,96,192,,,24576,49152}.
p.39)「九章算術」では、円の半径を１として、円に内接する正６角形から出発していた。
~~~
p.39)日本、関孝和／内接多角形の周の長さを求めるアルゴリズムは、「九章算術」と同様であるが、円の直径を１とし、円に内接する正方形から出発している。
正n多角形, n={4,8,16,,,32768,65536,131072}.
end.
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