○ピタゴラスの３数とマチンの公式の関係を探る。
[1]piの生成公式から、マチンの公式を知る。
[2]P322のピタゴラス３数(現行の１５行)から、pi/4を生成するarctan式を見てみる。
[3]前提１)
tan(pi/4)=1, arctan(1)=pi/4.
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ... (0 < x <= 1)
[グレゴリー・ライプニッツ級数]
x=1; pi/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
[マチンの公式]
pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
pi/4 = 2arctan(1/2) - arctan(1/7)
pi/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7)
pi/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239)
---
pi/4 = k*arctan(1/m) + l*arctan(1/n), {k,l,m,n}=いずれも整数値.
で、arctan()の２式の組み合わせは、上記の４パターンのみ。
~~~参考本s
「円周率が歩んだ道」、上野健爾、岩波書店、(2013). p.188 - p.191
「π,-πの計算 アルキメデスから現代まで」、竹之内脩ら、共立出版、(2007).
「円周率, 歴史と数理, 数学のかんどころ22」、中村滋、共立出版、(2013).
~~~
[4]前提２),「πの公式をデザインする」、猪口和則、新風舎、(1998)./p.114,122
pi/2 = arctan(∞)
pi/3 = arctan(sqrt(3))
pi/4 = arctan(1)
pi/5 = arctan(sqrt(5 - 2sqrt(5)))
pi/6 = arctan(1/sqrt(3))
pi/8 = arctan(sqrt(2) - 1)
...
[5]ピタゴラス３数とマチンの関係は、以下が起点。
「マチンの公式を導いてみる」、深谷茂樹、福島県立橘高等学校
§2.ピタゴラスの三角形とマチンの公式、p.23 - 25
http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/55/55-10.pdf
[6][5]から、P322と合致するピタゴラス３数を一覧すると、
@@@@
TODO:
P322(1)=(119,120,169), P322(11)=(3,4,5)
P322(?)=(20,21,29)
P322(?)=(2,3,?)
@@@@
P322(1): (u,v)=(5,12), 169=u^2+v^2, 120=2uv.
P322(11): (u,v)=(1,2), 5=1^2+2^2, 4=2uv.
@@@@
P322(1) <~diff~> P322(11) <~diff~> P322(22)
5/12 <~(1/12)~> 6/12=1/2 <~(1/12)~> 7/12
~~~
{5,6,7,12}と日常生活に関連する数字が引っかかる,,,
@@@@
P322()の間隔は、1/12*1/10=1/120で、1200セントと関連ありか？
@@@@
P322(22): (u,v)=(7,12), 193=u^2+v^2, 168=2uv. ??? =(95,168,193).???
@@@@
arctan(P322(1)) ~ arctan(P322(11)) ~ arctan(P322(22))
arctan(119/120) ~ arctan(3/4) ~ arctan(95/168)
44.76..° ~ 36.86..° ~ 29.48..°
pi/4(=45°) ~ pi/5(=36°) ~ pi/6(=30°)
@@@@
ガウス分布=sqrt(pi) ~ pi...,
正規分布の信頼区間との関連？
P322(1): (119/120)=0.9916.. ~99%
P322(?): (20/21)=0.952380.. ~95%
P322(11): (3/4)=0.75 =75%
に見えますが、、、真理はいずこにありや？
@@@@
[7]
aaa
aaa
end.
2016年3月4日金曜日
normal distribution : (1) Invisible boundary
○正規分布とPiの関係を探る。P322関連の補足調査。
前提、諸々）
[1]P322のデータ判定で、標準正規分布の確率〜3近傍？という数字が境界値に浮上してきた。この周辺情報を収集する。できれば、なんらかの根拠が得られれば、ベターだが。
(first trigger:2016/01/22 10:34-/for odrMIN={L=(less 3), S=(bigger 3)?}.)
---
[2]正規曲線の式にsqrt(pi)を含む事を思い出した(2016/02/xx)。
<本a>:「百万人の数学、下」ランスロット・ホグベン、日本評論社、(2015)/p.281
---
[3]正規分布の確率密度関数をみる。
f(x)=1/(sqrt(2*pi)*σ)*exp(-1/2*((x-μ)/σ)^2)
<本b>:「ここからはじめる統計学の教科書」高橋麻奈、朝倉書店、(2012)/p.42
---
[4]さらに、[-3σ,+3σ]では、約99.7%が属する。<本b>:p.41
標準正規分布は、(μ,σ)=(0,1)から、99.7%の範囲は、[-3,+3]になる。
<本b>:p.121:標準正規分布（上側確率）で、Z=3.09は、(0.00100)->0.1%をじっと見た。
---
[5]p値=0.001...
<本c>:「p値とは何か, What Is A p-value Anyway?」、Andrew Vickers、丸善出版,(H25)
---
[6]pi=3.14..., Z=pi=3.14近辺に何があるか？
Z>3の標準正規分布表をみる。
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
Z=3.13は、(0.4991)で、99.82% @round(99.82;1)=99.8%
Z=3.14〜3.17は、(0.4992)で、両側検定では、(0.4992*2*100)=99.84% @round(99.84;1)=99.8%
Z=3.18は、(0.4993)で、99.86% @round(99.86;1)=99.9% ->棄却域:p=0.001になる。
---
[7]試行錯誤には、スマホで便利。casioの計算サイトを利用。
標準正規分布
http://keisan.casio.jp/exec/system/1174204351
---
[8]円周率の近似分数をみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.21)密率: 355/113=3.1415929...、粗率: 22/7=3.142857...
p.46)221/71 < pi < 22/7 = (3.11267...) < pi < (3.142857...)
p.49)223/71=3.140845...
~~~
p.95)古代インドでは、sqrt(10)がpiの近似値として使われていた。江戸にも。
※sqrt(10)=3.162277...
---
[9]円周率を求める別の試みをみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.96, 186)グレゴリー・ライプニッツ級数あり、
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ...(-1)(n-1)/(2n+1)...
---
[10][9]の近似計算結果を検索(2016/03/02-)。
[a]円周率と無限級数
http://math.artet.net/?eid=212301
4(1 - (1/3))、4(1 - (1/3) + (1/5))...と頭から順番に計算。(1/11)まであり。
~~~
[b]グレゴリー・ライプニッツ級数
http://hiromiootani.info/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%CE%A3k!10.cshtml
グレゴリー・ライプニッツ級数の第150項目までを求めてみました。
降順に一覧あり。下段抜粋。
...
0.744011544011544
0.834920634920635
0.7238095238095238
0.8666666666666667
0.6666666666666666
1
1
π/4=0.7837315152482703
---
[11]グレゴリー・ライプニッツ級数を自分でも検算。
式からもわかるが、±で振動しながらも、piにゆっくりと接近している。
~~~初心を忘れるべからず、目的は、正規分布と絡める話,,,ではあるが、手詰まり,,,
---
[12]新たな突破口発見！(2016/03/03-)
<本a>:p.174)級数積分法でpiの計算,,,
抜粋）グレゴリー・ライプニッツ級数
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - (1/11)...
２項ずつまとめる方法は２つある。
[A式] pi/4 = 1 - ((1/3)-(1/5)) - ((1/7)-(1/9)) - ((1/11)-(1/13)) - ...
[A式] pi/4 = 1 - (2/15) - (2/63) - (2/143) - ...
~~~
[B式] pi/4 = (1-(1/3)) + ((1/5)-(1/7)) + ((1/9)-(1/11)) + ((1/13)-(1/15)) + ...
[B式] pi/4 = (2/3) + (2/35) + (2/99) + (2/195) + ...
~~~
従って、(2/3) < (pi/4) < 1 -> (2.666...) < pi < 4
...
(続く...)
end.
前提、諸々）
[1]P322のデータ判定で、標準正規分布の確率〜3近傍？という数字が境界値に浮上してきた。この周辺情報を収集する。できれば、なんらかの根拠が得られれば、ベターだが。
(first trigger:2016/01/22 10:34-/for odrMIN={L=(less 3), S=(bigger 3)?}.)
---
[2]正規曲線の式にsqrt(pi)を含む事を思い出した(2016/02/xx)。
<本a>:「百万人の数学、下」ランスロット・ホグベン、日本評論社、(2015)/p.281
---
[3]正規分布の確率密度関数をみる。
f(x)=1/(sqrt(2*pi)*σ)*exp(-1/2*((x-μ)/σ)^2)
<本b>:「ここからはじめる統計学の教科書」高橋麻奈、朝倉書店、(2012)/p.42
---
[4]さらに、[-3σ,+3σ]では、約99.7%が属する。<本b>:p.41
標準正規分布は、(μ,σ)=(0,1)から、99.7%の範囲は、[-3,+3]になる。
<本b>:p.121:標準正規分布（上側確率）で、Z=3.09は、(0.00100)->0.1%をじっと見た。
---
[5]p値=0.001...
<本c>:「p値とは何か, What Is A p-value Anyway?」、Andrew Vickers、丸善出版,(H25)
---
[6]pi=3.14..., Z=pi=3.14近辺に何があるか？
Z>3の標準正規分布表をみる。
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
Z=3.13は、(0.4991)で、99.82% @round(99.82;1)=99.8%
Z=3.14〜3.17は、(0.4992)で、両側検定では、(0.4992*2*100)=99.84% @round(99.84;1)=99.8%
Z=3.18は、(0.4993)で、99.86% @round(99.86;1)=99.9% ->棄却域:p=0.001になる。
---
[7]試行錯誤には、スマホで便利。casioの計算サイトを利用。
標準正規分布
http://keisan.casio.jp/exec/system/1174204351
---
[8]円周率の近似分数をみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.21)密率: 355/113=3.1415929...、粗率: 22/7=3.142857...
p.46)221/71 < pi < 22/7 = (3.11267...) < pi < (3.142857...)
p.49)223/71=3.140845...
~~~
p.95)古代インドでは、sqrt(10)がpiの近似値として使われていた。江戸にも。
※sqrt(10)=3.162277...
---
[9]円周率を求める別の試みをみる。
<本d>:「円周率が歩んだ道」上野健爾、岩波書店、(2013)
p.96, 186)グレゴリー・ライプニッツ級数あり、
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ...(-1)(n-1)/(2n+1)...
---
[10][9]の近似計算結果を検索(2016/03/02-)。
[a]円周率と無限級数
http://math.artet.net/?eid=212301
4(1 - (1/3))、4(1 - (1/3) + (1/5))...と頭から順番に計算。(1/11)まであり。
~~~
[b]グレゴリー・ライプニッツ級数
http://hiromiootani.info/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%CE%A3k!10.cshtml
グレゴリー・ライプニッツ級数の第150項目までを求めてみました。
降順に一覧あり。下段抜粋。
...
0.744011544011544
0.834920634920635
0.7238095238095238
0.8666666666666667
0.6666666666666666
1
1
π/4=0.7837315152482703
---
[11]グレゴリー・ライプニッツ級数を自分でも検算。
式からもわかるが、±で振動しながらも、piにゆっくりと接近している。
~~~初心を忘れるべからず、目的は、正規分布と絡める話,,,ではあるが、手詰まり,,,
---
[12]新たな突破口発見！(2016/03/03-)
<本a>:p.174)級数積分法でpiの計算,,,
抜粋）グレゴリー・ライプニッツ級数
pi/4 = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - (1/11)...
２項ずつまとめる方法は２つある。
[A式] pi/4 = 1 - ((1/3)-(1/5)) - ((1/7)-(1/9)) - ((1/11)-(1/13)) - ...
[A式] pi/4 = 1 - (2/15) - (2/63) - (2/143) - ...
~~~
[B式] pi/4 = (1-(1/3)) + ((1/5)-(1/7)) + ((1/9)-(1/11)) + ((1/13)-(1/15)) + ...
[B式] pi/4 = (2/3) + (2/35) + (2/99) + (2/195) + ...
~~~
従って、(2/3) < (pi/4) < 1 -> (2.666...) < pi < 4
...
(続く...)
end.
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