[to index]
------------------------------
[2015/11/27]起案
[1]season2: mix(border*order, sum*order) -> single(border*order)では、expected result の影響は？
[2]線形trend: f(x) = ax + b とすると、expected result と (a, b)の傾向は？ (a, b)から result を探索可能？
------------------------------
------------------------------
------------------------------
------------------------------
aaa
end.
2015年11月30日月曜日
2015年11月28日土曜日
The Plimpton 322 Collection (2-2-L15): P322(15) Detail
[to index]
[Step.1]
Fig.list.mid
---
[Step.2]
expected val = (-1)*(-177.65 to -237.708 to -306.261)
---
[Step.5]
Fig.graph(R^2)
aaa
@@@@@:2015/11/28)：現時点のゴール案、、、(not final)
完全なクロスでも、疑似クロスでもない、、、
val=10付近でクロスありも、クロスの R^2 と max(peak(dpsv.R^2))を比較し、
大きな値を選択する。※peak()とは、対象のR^2の変化量が大きい箇所を指す。
@@@@@
aaa
---
Fig.list(R^2).top
---
Fig.list(R^2).mid
---
Fig.list(R^2).bottom
---
[Step.X]
result=OK(L) selected. val={73, 74, 75}.
goal : ([Step.2]: diff.T^2 = 56223.05 -> sum.all = 263.50)
---
end.
[Step.1]
Fig.list.mid
[Step.2]
expected val = (-1)*(-177.65 to -237.708 to -306.261)
---
[Step.5]
Fig.graph(R^2)
@@@@@:2015/11/28)：現時点のゴール案、、、(not final)
完全なクロスでも、疑似クロスでもない、、、
val=10付近でクロスありも、クロスの R^2 と max(peak(dpsv.R^2))を比較し、
大きな値を選択する。※peak()とは、対象のR^2の変化量が大きい箇所を指す。
@@@@@
aaa
---
Fig.list(R^2).top
Fig.list(R^2).mid
Fig.list(R^2).bottom
[Step.X]
result=OK(L) selected. val={73, 74, 75}.
goal : ([Step.2]: diff.T^2 = 56223.05 -> sum.all = 263.50)
---
end.
2015年11月24日火曜日
The Plimpton 322 Collection (2-2-L12): P322(12) Detail
[to index]
[Step.1]
Fig.list.mid
---
[Step.2]
expected val = (-1)*(79.540 to 97.79 to 118.212)
---
[Step.5]
Fig. graph(R^2)
aaa
@@@@@:2015/11/24)：現時点のゴール案、、、(not final)
[1]２つのデータのR^2の交点(cross-point, クロス)にゴールが潜む。
[2](a)完全なクロス(X)、又は、(b)(∨)と(∧)の接する部分で、擬似的にクロス(X)が生じる箇所
=>(a): goal=large(;1), (b): goal=small(;1)か、、、
[3]より大きなR^2値のクロスが対象
[4]クロスでも、片側が、同一方向から流れてきた場合は、対象外とする。
---
今回のP322(12)は、val=10付近での擬似的なクロス。で、goal=small(;1).
@@@@@
aaa
---
Fig.list(R^2).top
---
Fig.list(R^2).botom
---
[Step.X]
result=OK(S) selected. val={9, 10, 11, 12, 13, 14}.
goal : ([Step.2]: diff.T^2 = 220.40 -> sum.all = -104.36)
---
end.
[Step.1]
Fig.list.mid
[Step.2]
expected val = (-1)*(79.540 to 97.79 to 118.212)
---
[Step.5]
Fig. graph(R^2)
@@@@@:2015/11/24)：現時点のゴール案、、、(not final)
[1]２つのデータのR^2の交点(cross-point, クロス)にゴールが潜む。
[2](a)完全なクロス(X)、又は、(b)(∨)と(∧)の接する部分で、擬似的にクロス(X)が生じる箇所
=>(a): goal=large(;1), (b): goal=small(;1)か、、、
[3]より大きなR^2値のクロスが対象
[4]クロスでも、片側が、同一方向から流れてきた場合は、対象外とする。
---
今回のP322(12)は、val=10付近での擬似的なクロス。で、goal=small(;1).
@@@@@
aaa
---
Fig.list(R^2).top
Fig.list(R^2).botom
[Step.X]
result=OK(S) selected. val={9, 10, 11, 12, 13, 14}.
goal : ([Step.2]: diff.T^2 = 220.40 -> sum.all = -104.36)
---
end.
2015年11月13日金曜日
The Plimpton 322 Collection (9-1): For What? (2)
[to index]
◎関連記事等の収集
===========================
[1]「虚数の情緒」、吉田武、東海大学出版会、(2000).
で、プリンプトン３２２の記載があったので、抜粋(2015/10/31-)。
---
p.214 - p.218) 2.6.2 プリンプトン No.322／１５行のピタゴラス３数を列記。
=>数字的には、The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n)
最終的な(a,b,c)に一致。但し、No.11は(3, 4, 5)*900=(2700, 3600, 4500)を使用。
---
p.218) 以後、この表を敬意を込めて、「バビロニアン・テーブル」と呼ぶ事にしよう。この様な大きなピタゴラス数が、偶然見つけられたなどとは、到底考えられない。,,,この表に記載されている数の順序そのものにも大いなる意味が込められている。
---
p.260 - p.262) 3.8 バビロニアン・テーブルの秘密
p.260) この表に記されたピタゴラス数は、その大きさも区々(まちまち)で、順番も何の脈絡もなく並んでいる様に見え、そこに意味があるなどとはとても思えなかった。
---
p.261) ,,,何と長さの比 (b/a) は、滞りなく(とどこおりなく)綺麗に(きれいに)減少している。実に見事に調整された間隔であるとは思わないだろうか,,,
=> The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n) の(a,b,c)を、ここでは、(b,a,c)として扱っている。下表：No.11は、(a,b,c)/900で計算した。
p.261) バビロニアン・テーブルは、三角形の大きさそのものではなく、斜辺の傾き、別の言い方をすれば、底辺と斜辺の間の角∠A の大きさに注目して、集められたピタゴラス数の表だったのではないか。
---
p.261 - p.262) 一旦、こうした表が作られれば、次に必要となる考え方は、「図形の相似」である。或は、ピタゴラス数の全体を何倍かした数の組である。これさえあれば、測量が出来る。,,,
---
p.600 - p.603) 9.7 粘土板は古代の電卓か
p.601) ,,,即ち、粘土板に記された十五の三角形の角は、すべて３０度から４５度に収まっており、角の大きい順番に並べられていたのである。,,,
---
p.312 - p.328) 4.無理数：比で表せない数／第７節 数を聴く・音を数える
p.314) 振動数 * 弦長 = 一定
p.317) 4.7.1 ピタゴラス音律
p.322) 4.7.2 純正調音律
p.325) 4.7.3 十二平均律
===
me) バビロニアン・テーブルとの関連性は記載されていないが、音律に関しても網羅されている,,,
===========================
[2] 「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011).
---
p.157) 表9-1 プリンプトン322の粘土板にあるpPTの３辺と角度
=>１４行しかない。参考[1]に対して、(a,b)が逆なので、角度も、９０度の反転。
===========================
end.
◎関連記事等の収集
===========================
[1]「虚数の情緒」、吉田武、東海大学出版会、(2000).
で、プリンプトン３２２の記載があったので、抜粋(2015/10/31-)。
---
p.214 - p.218) 2.6.2 プリンプトン No.322／１５行のピタゴラス３数を列記。
=>数字的には、The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n)
最終的な(a,b,c)に一致。但し、No.11は(3, 4, 5)*900=(2700, 3600, 4500)を使用。
---
p.218) 以後、この表を敬意を込めて、「バビロニアン・テーブル」と呼ぶ事にしよう。この様な大きなピタゴラス数が、偶然見つけられたなどとは、到底考えられない。,,,この表に記載されている数の順序そのものにも大いなる意味が込められている。
---
p.260 - p.262) 3.8 バビロニアン・テーブルの秘密
p.260) この表に記されたピタゴラス数は、その大きさも区々(まちまち)で、順番も何の脈絡もなく並んでいる様に見え、そこに意味があるなどとはとても思えなかった。
---
p.261) ,,,何と長さの比 (b/a) は、滞りなく(とどこおりなく)綺麗に(きれいに)減少している。実に見事に調整された間隔であるとは思わないだろうか,,,
=> The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n) の(a,b,c)を、ここでは、(b,a,c)として扱っている。下表：No.11は、(a,b,c)/900で計算した。
| a | b | c | b/a | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 120 | 119 | 169 | 0.9916... |
| 2 | 3456 | 3367 | 4825 | 0.9742476851... |
| 3 | 4800 | 4601 | 6649 | 0.9585416... |
| 4 | 13500 | 12709 | 18541 | 0.9414074074 |
| 5 | 72 | 65 | 97 | 0.9027... |
| 6 | 360 | 319 | 481 | 0.8861... |
| 7 | 2700 | 2291 | 3541 | 0.84851... |
| 8 | 960 | 799 | 1249 | 0.8322916... |
| 9 | 600 | 481 | 769 | 0.8016... |
| 10 | 6480 | 4961 | 8161 | 0.7655864197530... |
| 11 | 4 | 3 | 5 | 0.75 |
| 12 | 2400 | 1679 | 2929 | 0.699583... |
| 13 | 240 | 161 | 289 | 0.67083... |
| 14 | 2700 | 1771 | 3229 | 0.65592... |
| 15 | 90 | 56 | 106 | 0.62... |
---
p.261 - p.262) 一旦、こうした表が作られれば、次に必要となる考え方は、「図形の相似」である。或は、ピタゴラス数の全体を何倍かした数の組である。これさえあれば、測量が出来る。,,,
---
p.600 - p.603) 9.7 粘土板は古代の電卓か
p.601) ,,,即ち、粘土板に記された十五の三角形の角は、すべて３０度から４５度に収まっており、角の大きい順番に並べられていたのである。,,,
| a | b | c | degrees( atan(b/a)) |
|
|---|---|---|---|---|
| 1 | 120 | 119 | 169 | 44.76... |
| 2 | 3456 | 3367 | 4825 | 44.25... |
| 3 | 4800 | 4601 | 6649 | 43.78... |
| 4 | 13500 | 12709 | 18541 | 43.27... |
| 5 | 72 | 65 | 97 | 42.07... |
| 6 | 360 | 319 | 481 | 41.54... |
| 7 | 2700 | 2291 | 3541 | 40.31... |
| 8 | 960 | 799 | 1249 | 39.77... |
| 9 | 600 | 481 | 769 | 38.71... |
| 10 | 6480 | 4961 | 8161 | 37.43... |
| 11 | 4 | 3 | 5 | 36.86... |
| 12 | 2400 | 1679 | 2929 | 34.97... |
| 13 | 240 | 161 | 289 | 33.85... |
| 14 | 2700 | 1771 | 3229 | 33.26... |
| 15 | 90 | 56 | 106 | 31.89... |
p.312 - p.328) 4.無理数：比で表せない数／第７節 数を聴く・音を数える
p.314) 振動数 * 弦長 = 一定
p.317) 4.7.1 ピタゴラス音律
p.322) 4.7.2 純正調音律
p.325) 4.7.3 十二平均律
===
me) バビロニアン・テーブルとの関連性は記載されていないが、音律に関しても網羅されている,,,
===========================
[2] 「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011).
---
p.157) 表9-1 プリンプトン322の粘土板にあるpPTの３辺と角度
=>１４行しかない。参考[1]に対して、(a,b)が逆なので、角度も、９０度の反転。
| b | a | c | degrees( atan(b/a)) |
|
|---|---|---|---|---|
| 1 | 120 | 119 | 169 | 45.23... |
| 2 | 3456 | 3367 | 4825 | 45.74... |
| 3 | 4800 | 4601 | 6649 | 46.21... |
| 4 | 13500 | 12709 | 18541 | 46.72... |
| 5 | 72 | 65 | 97 | 47.92... |
| 6 | 360 | 319 | 481 | 48.45... |
| 7 | 2700 | 2291 | 3541 | 49.68... |
| 8 | 960 | 799 | 1249 | 50.22... |
| 9 | 600 | 481 | 769 | 51.28... |
| 10 | 6480 | 4961 | 8161 | 52.56... |
| 11 | 4 | 3 | 5 | 53.13... |
| 12 | 2400 | 1679 | 2929 | 55.02... |
| 13 | 240 | 161 | 289 | 56.14... |
| 14 | 2700 | 1771 | 3229 | 56.73... |
| 15 | 90 | 56 | 106 | (58.10...) |
end.
2015年11月2日月曜日
The Plimpton 322 Collection (2-2-0): Details / Operation
[to index]
This approach is started around 2015/10/14.
For explanation, P322(7) is used as sample showing.
---
---
---
m > n
n = (1to60)
(n + 1) <= m <= upperLimit
---
upperLimitは何で定義するか？=>１オクターブの比=(1to2)を使う。
1 <= (c / b)^2 <= 2
1 <= (c / b) <= sqrt(2)
---
[Lower-side]
1 <= ((m^2 + n^2) / 2mn)
m^2 - (2n)*m + n^2 >= 0
m >= 1/2*(2n ± sqrt((2n)^2 - 4n^2))
m >= 1/2*(2n)
m >= n
---
[Upper-side]
((m^2 + n^2) / 2mn) <= sqrt(2)
m^2 - (2sqrt(2)n)*m + n^2 <= 0
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± sqrt((2sqrt(2)n)^2 - 4n^2))
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± sqrt(4*2n^2 - 4n^2))
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± 2n*sqrt(2 - 1))
m <= sqrt(2)n ± n
m <= n(sqrt(2) ±1) -> (m > n) : m <= n(sqrt(2) + 1)
---
よって、upperLimit = n(sqrt(2) + 1)
===============================
探索範囲は、以下とする。
n = (1to60)
(n + 1) <= m <= n(sqrt(2) + 1)
=>オクターブの範囲で、比=(1to2)に納めるため、探索範囲の上限は、nの(1 + sqrt(2))倍。
---
また、生成されたピタゴラス３数から(c/b)の重複を除くために、gcd=(1,2)に限定する。
=> (m,n)でgcd=2が生成できたとしても、相似形のgcd=1は存在しない,,,?
===============================
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
参考）「 ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010).
p.22) ∠Aが３０°〜４５°の場合、(c/b)は、sqrt(2) 〜 (2 / sqrt(3)) となる。
---
主旨は、(c/b)^2を計算するには、(c/b)の計算が必要というもので、No.1-15で(44°46' - 31°53')の範囲になるので、計算範囲を３０°から４５°と予想している。４５°の(c/b)=sqrt(2)、３０°の(c/b)=2/sqrt(3) となる。以下の内容は、この(c/b)の範囲から、(m/n)の範囲を計算する流れ。
---
p.24) 上限の (c/b) が、sqrt(2)となる x (= m / n) の値を計算してみよう,,,
p.26) 下限の (c/b) が、(2 / sqrt(3)) = (2sqrt(3) / 3) の場合は,,,
p.29) (k = m / n)を(2;25)〜(1;44)の間にとれば、∠Aがほぼ４５°〜３０°になることがわかる。
=>60進数：(2;25)〜(1;44)、１０進数：(1 + sqrt(2))〜sqrt(3).
---
私見）p.30) 条件B、条件Cが、本件に類似する。/or/同一？
---
条件B：先ず(n)を決め、それに(1;44)と(2;25)を掛けて、(m)の範囲を計算する。その場合、(n)は１から始めて(1,0)までとする（６０進法での自然な計算順序である）。
=> ６０進数：1 <= n <= (1,0). n*(1;44) <= m <= n*(2;25).
=> １０進数：1 <= n <= 60. n*sqrt(3) <= m <= n*(1 + sqrt(2)). ※n(1.733...) <= m <= n(2.416...).
---
条件C：計算した(n)と(m)の組み合わせの内、共約数のある（組み合わせ）を除く（同形の三角形を排除するための処理）。
=> gcd=1のみを対象とする。
---
p.66) ∠Aが３０°未満となるピタゴラス数の試算／,,,その場合には、k = (m/n)を(1;44)未満から(1)までとすればよい（但し、(m/n)=1は含まない）。
---
p.67) なお、全体を通じて考えると、(n)として、６０以下の規則数を選び、それらの(n)の(2;25)倍以下の規則数を(m) (m > n)として選び、共約数をもつ(m,n)の組み合わせを除き、(a, b, c) = (2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2) として計算すれば、∠Aが４５°以下の古代バビロニア式のピタゴラス数が計算できるとも言える。
私見）この時点で、共約数を除外(gcd=1限定）以外は、基本的に前処理としては同じ流れになる。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以下の表で、
[a](u,v) = (m,n) と同じ意味。
[b]音律(=2^(n/24))を挿入し、P322の第I欄に相当する(c/b)^2で昇順ソートする。
=>表では、(c/a)^2になっているが、(m,n)で表現すると、((m^2 + n^2) / 2mn)^2 の意味。
---
Fig. data.....(file:make-init-dataList)
---
P322(2) to P322(15)までは、上記のデータでカバーできると思うが、P322(1)の基準となる音律は、１オクターブなので、比=2の境界になる。境界の前後のデータ分布を調べる関係から、m = n(1 + sqrt(2))の範囲を拡大する必要がある。
(c/b)^2=x として、xに対して、mの探索範囲を求めると、
m^2 - 2n*sqrt(x)*m + n^2 = 0で、mを求めると、m = n(sqrt(x) + sqrt(x - 1))
P322(1)処理時に、x=(3,4,5,...)のいずれを採用するかを決定する。
---
---
音律(2^(n/24)!=P322(3), or 2^(n/48)=P322(3))の値と、ピタゴラス３数の比を元ネタとする。
---
各セルの計算は以下。
注１）データ作成範囲をcol:I欄で、同値の８０としているが、特に根拠はない。それまでの試行錯誤の中で、４０までの範囲では、期待したルールが破綻したために、倍に範囲を拡大中での試行。
注２）(+,-)の範囲は、音律基準で画面上を(+)、画面下を(-)にした。比から、逆が正解のようだが、ここではどちらでもよい。計算結果で、重心が(+,-)のいずれのエリアにあるかを知りたいだけなので。
---
注３）(border * order) だけでいいのか？ (sum * order) の影響度はいかほどか？
そこまでは、現段階、検証していない,,,(TODO)
---
Fig. list.mid.....(file:P322-7-00-mid-in-dataList)
---
◎P322(7)の比で、(border * order)の前後の値(103.530 to 144.312)の(-1)倍が、音律(2^(19/24))の前後のピタゴラス３数の分布バランスと期待している。この値を生成する組み合わせを模索するのが、後半の流れ。
expected val = (-1)*(103.530 to 144.312)
---
後は、データを作成した先頭と最後の抜粋を示した。
---
Fig. list.top.....(file:P322-7-01-upperLimit-in-dataList)
---
Fig. list.bottom.....(file:P322-7-02-lowerLimit-in-dataList)
---
---
[a]valは、(border:10^3)で、1to80の自然数とする。
[b]val値の位置を、(border:10^3), (sum)からそれぞれ求め、order倍したものを音律の前後(+,-領域)で合計する（val値の位置は、(+)領域では、直近上位。(-)領域では、直近下位とする）。
[c](border:10^3), (sum)のそれぞれで得た合計を更に合計し、相関図から線形のトレンド線を得る。
[d]val値ごとにトレンド線からの二乗誤差を計算する。[Step.2]はここまで。
---
以下のリストの項目説明は、
---
Fig. list(sum.all, val=1to80).top.....(file:p322-7-10-data-val1to80-sum.all-top)
---
データリストの抜粋、後半。
Fig.list(sum.all, val=1to80).bottom.....(file:p322-7-11-data-val1to80-sum.all-bottom)
---
(col:I欄=val, 範囲=1to80)と(col:L欄=sum.all)の相関図から、線形のトレンド線を得る。
Fig. trend-graph.....(file:P322-7-12-graph-val1to80-sum.all-with-trend)
---
---
一覧を３分割で示した。
Fig. list(dpsv, val=1to80).top.....(file:P322-7-20-data-dpsv-top)
Fig. list(dpsv, val=1to80).mid.....(file:P322-7-21-data-dpsv-mid)
Fig. list(dpsv, val=1to80).bottom.....(file:P322-7-22-data-dpsv-bottom)
---
[2]同トレンド線からの誤差^2で、large(val範囲;1)/or/max()を求める。
=>small(val範囲;1)/or/min()も得ている。こちらの位置も判定から捨てがたいので、keep.
[3]同max()/or/min()行が、[Step.3]で青マークした(small.val=diff.T^2)と同行ならば、(expected val)となる。
---
Fig. lists(dpsv, val=1toN/base.val=1to80).top.....(file:P322-7-30-data-dpsv-val40-41-top)
Fig. lists(dpsv, val=1toN/base.val=1to80).bottom.....(file:P322-7-31-data-dpsv-val40-41-bottom)
---
aaa
@@@:(below not finished)
aaa
aaa
---
aaa
@@@@
Fig. graph(R^2).....(file:P322-7-90-graph-R^2)
@@@@@@:TODO
to exchange a sheet below.
@@@@@@
Fig. list(R^2).....(file:P322-7-91-data-R^2)
---
aaa
aaa
---
aaa
---
aaa
aaa
---
aaa
---
aaa
end.
This approach is started around 2015/10/14.
For explanation, P322(7) is used as sample showing.
---
[Step.-1] Idea: expected rule
音律に対して、その前後のピタゴラス３数の分布パターンから、音律でバランスせず、偏りがある。その偏りを相殺する(バランスさせるため)ための値としてP322(n)を選択している。---
[Step.0] Prepare Dataset (for All lines: P322(1) to P322(15))
P322(1-15)のピタゴラス３数を、(m,n)から以下の範囲で生成されている中に存在すると仮定する。---
m > n
n = (1to60)
(n + 1) <= m <= upperLimit
---
upperLimitは何で定義するか？=>１オクターブの比=(1to2)を使う。
1 <= (c / b)^2 <= 2
1 <= (c / b) <= sqrt(2)
---
[Lower-side]
1 <= ((m^2 + n^2) / 2mn)
m^2 - (2n)*m + n^2 >= 0
m >= 1/2*(2n ± sqrt((2n)^2 - 4n^2))
m >= 1/2*(2n)
m >= n
---
[Upper-side]
((m^2 + n^2) / 2mn) <= sqrt(2)
m^2 - (2sqrt(2)n)*m + n^2 <= 0
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± sqrt((2sqrt(2)n)^2 - 4n^2))
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± sqrt(4*2n^2 - 4n^2))
m <= 1/2*(2sqrt(2)n ± 2n*sqrt(2 - 1))
m <= sqrt(2)n ± n
m <= n(sqrt(2) ±1) -> (m > n) : m <= n(sqrt(2) + 1)
---
よって、upperLimit = n(sqrt(2) + 1)
===============================
探索範囲は、以下とする。
n = (1to60)
(n + 1) <= m <= n(sqrt(2) + 1)
=>オクターブの範囲で、比=(1to2)に納めるため、探索範囲の上限は、nの(1 + sqrt(2))倍。
---
また、生成されたピタゴラス３数から(c/b)の重複を除くために、gcd=(1,2)に限定する。
=> (m,n)でgcd=2が生成できたとしても、相似形のgcd=1は存在しない,,,?
===============================
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
参考）「 ピタゴラスの定理をめぐる２つの謎」、森下四郎、プレアデス出版、(2010).
p.22) ∠Aが３０°〜４５°の場合、(c/b)は、sqrt(2) 〜 (2 / sqrt(3)) となる。
---
主旨は、(c/b)^2を計算するには、(c/b)の計算が必要というもので、No.1-15で(44°46' - 31°53')の範囲になるので、計算範囲を３０°から４５°と予想している。４５°の(c/b)=sqrt(2)、３０°の(c/b)=2/sqrt(3) となる。以下の内容は、この(c/b)の範囲から、(m/n)の範囲を計算する流れ。
---
p.24) 上限の (c/b) が、sqrt(2)となる x (= m / n) の値を計算してみよう,,,
p.26) 下限の (c/b) が、(2 / sqrt(3)) = (2sqrt(3) / 3) の場合は,,,
p.29) (k = m / n)を(2;25)〜(1;44)の間にとれば、∠Aがほぼ４５°〜３０°になることがわかる。
=>60進数：(2;25)〜(1;44)、１０進数：(1 + sqrt(2))〜sqrt(3).
---
私見）p.30) 条件B、条件Cが、本件に類似する。/or/同一？
---
条件B：先ず(n)を決め、それに(1;44)と(2;25)を掛けて、(m)の範囲を計算する。その場合、(n)は１から始めて(1,0)までとする（６０進法での自然な計算順序である）。
=> ６０進数：1 <= n <= (1,0). n*(1;44) <= m <= n*(2;25).
=> １０進数：1 <= n <= 60. n*sqrt(3) <= m <= n*(1 + sqrt(2)). ※n(1.733...) <= m <= n(2.416...).
---
条件C：計算した(n)と(m)の組み合わせの内、共約数のある（組み合わせ）を除く（同形の三角形を排除するための処理）。
=> gcd=1のみを対象とする。
---
p.66) ∠Aが３０°未満となるピタゴラス数の試算／,,,その場合には、k = (m/n)を(1;44)未満から(1)までとすればよい（但し、(m/n)=1は含まない）。
---
p.67) なお、全体を通じて考えると、(n)として、６０以下の規則数を選び、それらの(n)の(2;25)倍以下の規則数を(m) (m > n)として選び、共約数をもつ(m,n)の組み合わせを除き、(a, b, c) = (2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2) として計算すれば、∠Aが４５°以下の古代バビロニア式のピタゴラス数が計算できるとも言える。
私見）この時点で、共約数を除外(gcd=1限定）以外は、基本的に前処理としては同じ流れになる。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以下の表で、
[a](u,v) = (m,n) と同じ意味。
[b]音律(=2^(n/24))を挿入し、P322の第I欄に相当する(c/b)^2で昇順ソートする。
=>表では、(c/a)^2になっているが、(m,n)で表現すると、((m^2 + n^2) / 2mn)^2 の意味。
---
Fig. data.....(file:make-init-dataList)
P322(2) to P322(15)までは、上記のデータでカバーできると思うが、P322(1)の基準となる音律は、１オクターブなので、比=2の境界になる。境界の前後のデータ分布を調べる関係から、m = n(1 + sqrt(2))の範囲を拡大する必要がある。
(c/b)^2=x として、xに対して、mの探索範囲を求めると、
m^2 - 2n*sqrt(x)*m + n^2 = 0で、mを求めると、m = n(sqrt(x) + sqrt(x - 1))
| x, =(c/b)^2 | max(m) | max(m),左整理 | ?,=n*?,左整理 |
|---|---|---|---|
| 1 | =n(sqrt(1) + sqrt(0)) | =n | 1 |
| 2 | =n(sqrt(2) + sqrt(1)) | =n(sqrt(2) + 1) | 2.414... |
| 3 | =n(sqrt(3) + sqrt(2)) | same | 3.146... |
| 4 | =n(sqrt(4) + sqrt(3)) | =n(2 + sqrt(3)) | 3.732... |
| 5 | =n(sqrt(5) + sqrt(4)) | =n(sqrt(5) + 2) | 4.236... |
---
Following is shown for each P322(n).
[Step.1] Data Handling for (diff, sum, order*diff, order*sum) by border
対象となるP322(n)に対して、近傍の音律を基準にピタゴラス３数分布の偏りを調べるために、前後にデータを貼付けていく。---
音律(2^(n/24)!=P322(3), or 2^(n/48)=P322(3))の値と、ピタゴラス３数の比を元ネタとする。
---
各セルの計算は以下。
| col: ?欄 | name | 説明、計算式 | 備考 |
|---|---|---|---|
| I | Border: 10^3 | [1]単品での偏りを調べる。 [2]abs(音律 - ピタゴラス３数比)*10^3 |
[1]処理し易いように(見やすいように)、10^3する。 [2]音律の前後に、同値=80までの範囲でデータを作成する。注１） |
| J | Sum | [1]累計での偏りを調べる。 [2]Border:10^3の値の合計。 範囲は、音律から対象となるピタゴラス３数まで。 |
[1]データ作成範囲は、col:I欄に同じ。 |
| K | Order | [1]音律からの距離 [2]音律から、前後で、何番目 |
|
| L | border*order | [1]単品の音律からの重心偏り [2]式 =(+1)*(col:I * col:K) ※音律以下 =(-1)*(col:I * col:K) ※音律以上 |
注２） ※(+)値=(+)領域、(-)値=(-)領域と呼称する。 |
| M | sum*order | [1]累計での音律からの重心偏り [2]式 =(+1)*(col:J * col:K) ※音律以下 =(-1)*(col:J * col:K) ※音律以上 |
※(+)値=(+)領域、(-)値=(-)領域と呼称する。 |
注２）(+,-)の範囲は、音律基準で画面上を(+)、画面下を(-)にした。比から、逆が正解のようだが、ここではどちらでもよい。計算結果で、重心が(+,-)のいずれのエリアにあるかを知りたいだけなので。
---
注３）(border * order) だけでいいのか？ (sum * order) の影響度はいかほどか？
そこまでは、現段階、検証していない,,,(TODO)
---
◎P322(7)の比で、(border * order)の前後の値(103.530 to 144.312)の(-1)倍が、音律(2^(19/24))の前後のピタゴラス３数の分布バランスと期待している。この値を生成する組み合わせを模索するのが、後半の流れ。
expected val = (-1)*(103.530 to 144.312)
---
後は、データを作成した先頭と最後の抜粋を示した。
---
Fig. list.top.....(file:P322-7-01-upperLimit-in-dataList)
Fig. list.bottom.....(file:P322-7-02-lowerLimit-in-dataList)
[Step.2] Data Handling for sum.all (val=1to80)
[Step.1]で作成したデータを元に、着目している音律比の前後で、同一val値の「距離による重み付け」がどのくらい偏っているかを求める。---
[a]valは、(border:10^3)で、1to80の自然数とする。
[b]val値の位置を、(border:10^3), (sum)からそれぞれ求め、order倍したものを音律の前後(+,-領域)で合計する（val値の位置は、(+)領域では、直近上位。(-)領域では、直近下位とする）。
[c](border:10^3), (sum)のそれぞれで得た合計を更に合計し、相関図から線形のトレンド線を得る。
[d]val値ごとにトレンド線からの二乗誤差を計算する。[Step.2]はここまで。
---
以下のリストの項目説明は、
| col: ?欄 | name | 説明、計算式 | 備考 |
|---|---|---|---|
| I | val | 1to80、自然数 | |
| J | border.sum | =sum(order*border:10^3(plus side), order*border:10^3(minus side)) --- plus side: +side :val値の直近上位値を選択 minus side: -side: val値の直近下位値を選択 |
|
| K | sum.sum | =sum(order*sum(plus side), order*sum(minus side)) |
|
| L | sum.all | =sum(border.sum, sum.sum) =sum(col:J, col:K) --- タイトルにexpected val範囲を示す |
[Step.1]のexpected val = (-1)*(103.530 to 144.312)の範囲に、青でマークした。 |
| M | T= | 相関図(val, sum.all)から線形トレンド線 --- タイトルにトレンド式を示す |
|
| N | diff.T^2 | sum.allと線形トレンド線の二乗誤差 =(sum.all - T)^2 =(col:L - col:M)^2 |
col:L欄の青マークの同行を薄い青でマークした。 |
Fig. list(sum.all, val=1to80).top.....(file:p322-7-10-data-val1to80-sum.all-top)
データリストの抜粋、後半。
Fig.list(sum.all, val=1to80).bottom.....(file:p322-7-11-data-val1to80-sum.all-bottom)
(col:I欄=val, 範囲=1to80)と(col:L欄=sum.all)の相関図から、線形のトレンド線を得る。
Fig. trend-graph.....(file:P322-7-12-graph-val1to80-sum.all-with-trend)
[Step.3] Data Handling for dpsv (diff.prev.small.val) (val=1to80)
[Step.2]で得た、diff.T^2 を昇順でソートする。| col: ?欄 | name | 説明、計算式 | 備考 |
|---|---|---|---|
| K | small.order | 1to80、自然数、昇順 | |
| L | diff.prev.small.val (dpsv) |
[1]col:M欄で、前値との差 [2]=small.val(n) - small.val(n-1) |
|
| M | small.val =diff.T^2 |
small(diff.T^2; small.order) | [Step.2],col:L=sum.all で、(expected val)を青マークした部分に対応する col:N=diff.T^2 を同様にマークしている。 |
一覧を３分割で示した。
Fig. list(dpsv, val=1to80).top.....(file:P322-7-20-data-dpsv-top)
Fig. list(dpsv, val=1to80).mid.....(file:P322-7-21-data-dpsv-mid)
Fig. list(dpsv, val=1to80).bottom.....(file:P322-7-22-data-dpsv-bottom)
[Step.4] Data Handling for each dpsv val=n limited (based on val=1to80)
[1]valの範囲を制限して、dpsvで線形トレンド線を求める。[2]同トレンド線からの誤差^2で、large(val範囲;1)/or/max()を求める。
=>small(val範囲;1)/or/min()も得ている。こちらの位置も判定から捨てがたいので、keep.
[3]同max()/or/min()行が、[Step.3]で青マークした(small.val=diff.T^2)と同行ならば、(expected val)となる。
---
| col: ?欄 | name | 説明、計算式 | 備考 |
|---|---|---|---|
| K | small.order | same as [Step.3]. | [Step.3, Step.4]はデータの行を合わせる。同一行で(expected val)判定のための青マークをチェックするため。 |
| L | dpsv | same as [Step.3]. | |
| M | small.val =diff.T^2 |
same as [Step.3]. | |
| R | val=1to40/base:val=1to80 [a]diff.T^2 |
個別） [1]max(val)=40に制限 [2]トレンド線との誤差^2 [3]=(col:L - col:S)^2 --- 全体） [1]最大=large(this.all;1)を得て、同一行の col:M が青マークかをチェック。 [2]最小=small(this.all;1)を得て、同様に同一行の青マークをチェックする。 |
[0]例として、N=40を示す。 [1](col:R, col:S)はセット |
| S | val=1to40/base:val=1to80 [b]T=線形トレンド式 |
[1]max(val)=40に制限 [2](col:K, col:L)、K=1to40の相関図で、線形トレンドの(式, R^2)を得る。 [3]トレンド式を計算(x=col:K)。 |
|
| T | val=1to41/base:val=1to80 [a]diff.T^2 |
個別） [1]max(val)=41に制限 他は、col:R と同様。 |
[0]例として、N=41を示す。 [1](col:T, col:U)はセット |
| U | val=1to41/base:val=1to80 [b]T=線形トレンド式 |
[1]max(val)=41に制限 他は、col:S と同様。 |
Fig. lists(dpsv, val=1toN/base.val=1to80).top.....(file:P322-7-30-data-dpsv-val40-41-top)
Fig. lists(dpsv, val=1toN/base.val=1to80).bottom.....(file:P322-7-31-data-dpsv-val40-41-bottom)
[Step.5] Check Trend of R^2 for (sum.all, dpsv) by each val=n limited
aaaaaa
@@@:(below not finished)
aaa
aaa
---
aaa
@@@@
Fig. graph(R^2).....(file:P322-7-90-graph-R^2)
to exchange a sheet below.
@@@@@@
Fig. list(R^2).....(file:P322-7-91-data-R^2)
---
[Step.6]
aaa
aaa
---
aaa
---
[Step.7]
aaa
aaa
---
aaa
---
aaa
end.
2015年11月1日日曜日
The Plimpton 322 Collection (6): making a Triangle by a string.
[to index]
P322から、リアルな三角定規を作成する流れを考える。
現時点で、様々な三角形の比率表と見ているので、予想される三角形の大きさを考えてみる。扱いやすい相似に比率を調整する目安を探る。
---
The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n) の一覧で、作成意図を考察するために、No.1-15は、gcd=(1,2)に集約したが、元データで、唯一No.11は、gcd=900がある。(m,n)で、n=1-60までピタゴラス３数を生成していくと、同No.11の(a,b,c)=(3,4,5)は、(m,n)=(2,1)の最初に生成されるものなのに、あえて、900倍にしたのか？
---
一覧の美しさを追求するなら、gcd=(1,2)にすべきと考えるので、ここには何らかの意図を感じる。 900倍の相似形の三角形が、リアルな三角定規の大きさの目安になっているのでは？
---
直近でチェックしている本）「数学はなぜ生まれたのか？」、柳谷晃、文藝春秋、(2014).
p.200) 数学の中の事実と方法は、必ず何らかの目的があって、作られている。それらは人が生きるためにどうしても必要なことがほとんど。数学と人間の生活は切り離すことができない。
---
◎三角形の周長となんらかの関係があるか？
参考)「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011).
p.31) L = 2m(m + n). L=周長.
===
上記の式は、(a, b, c) = (m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2) から計算したもの。
L = a + b + c = (m^2 - n^2) + 2mn + (m^2 + n^2) = 2m^2 + 2mn = 2m(m + n).
---
周長をNo.11が900倍することで、ある程度の長さが必要だったのか？
============
参考）「素晴らしき数学世界」、アレックス・ベロス、早川書房、(2012).
p.123) 図.エジプト人が三角定規として使っていたロープ。
---
p.123) エジプトの労働者には、(3,4,5)以外にも、さまざまな選択肢があったはずだ。実際、a^2 + b^2 = c^2 を満たす(a,b,c)の組み合わせはかぎりなく存在する。
---
,,,この作業に最も適しているのは、(3,4,5)の組み合わせだ。それは最も小さな数の組み合わせであると同時に、連続した整数となる唯一の組み合わせでもある。
---
このロープ張りの伝統によって、三辺の長さの比が、(3:4:5)となる直角三角形はエジプト三角形と呼ばれている。ポケットサイズの直角製造機ともいうべき、その三角形は人類の数学的遺産であり,,,
============
end(mid).
@@@@@@@@@@@
aaa
@@@@@@@:TODO)
食材は以下。
---
エジプトひも）(a, b, c) = (3, 4, 5)... @me)F48-1/p.19B.
---
me)F47/p.23A, pending...
me)usb: memo, print?
me)note: 45/n, 46/n
me)b-note: 1/n to 4/n.
@@@@@@@:TODO)
aaa
end.
P322から、リアルな三角定規を作成する流れを考える。
現時点で、様々な三角形の比率表と見ているので、予想される三角形の大きさを考えてみる。扱いやすい相似に比率を調整する目安を探る。
---
The Plimpton 322 Collection (4): List (a,b,c) + (m,n) の一覧で、作成意図を考察するために、No.1-15は、gcd=(1,2)に集約したが、元データで、唯一No.11は、gcd=900がある。(m,n)で、n=1-60までピタゴラス３数を生成していくと、同No.11の(a,b,c)=(3,4,5)は、(m,n)=(2,1)の最初に生成されるものなのに、あえて、900倍にしたのか？
---
一覧の美しさを追求するなら、gcd=(1,2)にすべきと考えるので、ここには何らかの意図を感じる。 900倍の相似形の三角形が、リアルな三角定規の大きさの目安になっているのでは？
---
直近でチェックしている本）「数学はなぜ生まれたのか？」、柳谷晃、文藝春秋、(2014).
p.200) 数学の中の事実と方法は、必ず何らかの目的があって、作られている。それらは人が生きるためにどうしても必要なことがほとんど。数学と人間の生活は切り離すことができない。
---
◎三角形の周長となんらかの関係があるか？
参考)「ピタゴラスの三角形とその数理」、細谷治夫、共立出版、(2011).
p.31) L = 2m(m + n). L=周長.
===
上記の式は、(a, b, c) = (m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2) から計算したもの。
L = a + b + c = (m^2 - n^2) + 2mn + (m^2 + n^2) = 2m^2 + 2mn = 2m(m + n).
---
周長をNo.11が900倍することで、ある程度の長さが必要だったのか？
============
参考）「素晴らしき数学世界」、アレックス・ベロス、早川書房、(2012).
p.123) 図.エジプト人が三角定規として使っていたロープ。
p.123) エジプトの労働者には、(3,4,5)以外にも、さまざまな選択肢があったはずだ。実際、a^2 + b^2 = c^2 を満たす(a,b,c)の組み合わせはかぎりなく存在する。
---
,,,この作業に最も適しているのは、(3,4,5)の組み合わせだ。それは最も小さな数の組み合わせであると同時に、連続した整数となる唯一の組み合わせでもある。
---
このロープ張りの伝統によって、三辺の長さの比が、(3:4:5)となる直角三角形はエジプト三角形と呼ばれている。ポケットサイズの直角製造機ともいうべき、その三角形は人類の数学的遺産であり,,,
============
end(mid).
@@@@@@@@@@@
aaa
@@@@@@@:TODO)
食材は以下。
---
エジプトひも）(a, b, c) = (3, 4, 5)... @me)F48-1/p.19B.
---
me)F47/p.23A, pending...
me)usb: memo, print?
me)note: 45/n, 46/n
me)b-note: 1/n to 4/n.
@@@@@@@:TODO)
aaa
end.
登録:
投稿 (Atom)
